X 권
명제
명제 66
이항 선분과 길이를 같은 단위로 측정할 수 있는 선분은 이항 선분이다.
이항 선분 \(\rm AB\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm CD}\)가 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러면, \(\rm CD\)도 같은 종류의 이항선분이다.
X 권
명제
이항 선분과 길이를 같은 단위로 측정할 수 있는 선분은 이항 선분이다.
이항 선분 \(\rm AB\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm CD}\)가 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러면, \(\rm CD\)도 같은 종류의 이항선분이다.
이항 선분 \(\rm AB\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm CD}\)가 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러면, \(\rm CD\)도 이항 선분임을 보이자.
\(\overline{\rm AB}\)는 이항 선분이므로, 어떤 점 \(\rm E\)로 선분 \(\rm AB\)를 \(\overline{\rm AE} > \overline{\rm EB}\)이 되게 나누자. 그러면 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm EB}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm AE}}^2\), \({\overline{\rm EB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 36]
\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm AE}:\overline{\rm CF}\)이 되도록 선분 \(\rm CD\)와 점 \(\rm F\)를 잡자. [VI권 명제 12] 그러면 \(\overline{\rm EB}:\overline{\rm FD}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)이다. [V권 명제 19] 그런데 \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm CD}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm CF}\)도 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm EB}\)와 \(\overline{\rm FD}\)도 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11] 그리고 \(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm EB}\)는 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm CF}\)와 \(\overline{\rm FD}\)는 유리수이다.
\(\overline{\rm AE}:\overline{\rm CF}=\overline{\rm EB}:\overline{\rm FD}\)이다. [V권 명제 11] 그러므로 바꾼 비례식에 의해서 \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm FD}\)이다. [V권 명제 16] 그런데 \(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm EB}\)는 단 \({\overline{\rm AE}}^2\)과 \({\overline{\rm EB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm CF}\)와 \(\overline{\rm FD}\)도 단 \({\overline{\rm CF}}^2\)와 \({\overline{\rm FD}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11] 그리고 \(\overline{\rm CF}\)와 \(\overline{\rm FD}\)는 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm CD}\)는 이항 선분이다. [X권 명제 36]
다음으로 \(\overline{\rm CD}\)는 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 이항 선분임을 보이자. \({\overline{\rm AE}}^2\)는 \({\overline{\rm EB}}^2\)와 \(\overline{AE}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 합과 같거나 아니면 \(\overline{AE}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 합과 같다.
만약 \({\overline{\rm AE}}^2\)는 \({\overline{\rm EB}}^2\)와 \(\overline{AE}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 합과 같다고 하자. 그러면 \({\overline{\rm CF}}^2\)는 \({\overline{\rm FD}}^2\)와 \(\overline{CF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 합과 같다. [X권 명제 14]
그리고 \(\overline{\rm AE}\)가 주어진 유리수와 같은 단위로 측정할 수 있으면 \(\overline{\rm CF}\)도 그 유리수와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 12] 그렇기 때문에 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)는 첫 번째 이항 선분이다. [X권 정의 II 1] 즉, 같은 종류의 이항 선분이다.
만약 \(\overline{\rm EB}\)가 주어진 유리수와 같은 단위로 측정할 수 있으면 \(\overline{\rm FD}\)도 그 유리수와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 12] 그렇기 때문에 \(\overline{\rm CD}\)는 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 종류의 이항 선분이 된다. 두 선분 모두 두 번재 이항 선분이다 [X권 정의 II 2]
그러나 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm EB}\) 모두 주어진 유리수와 같은 단위로 측정할 수 없으면, \(\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm FD}\) 모두 주어진 유리수와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13] 그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)는 세 번째 이항 선분이다. [X권 정의 II 3]
만약 \({\overline{\rm AE}}^2\)는 \({\overline{\rm EB}}^2\)와 \(\overline{AE}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 합과 같다고 하자. 그러면 \({\overline{\rm CF}}^2\)는 \({\overline{\rm FD}}^2\)와 \(\overline{CF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 합과 같다. [X권 명제 14]
그리고 \(\overline{\rm AE}\)를 주어진 유리수와 같은 단위로 측정할 수 있으면 \(\overline{\rm CF}\)도 그 유리수와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)는 네 번째 이항 선분이다. [X권 정의 II 4] 만약 \(\overline{\rm EB}\)를 같은 단위로 측정할 수 있으면 , \(\overline{\rm FD}\)도 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)는 다섯 번째 이항 선분이다. [X권 정의 II 5]
만약 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm EB}\) 모두 같은 단위로 측정할 수 없으면 \(\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm FD}\)도 모두 주어진 유리수와 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)는 여섯 번째 이항 선분이다. [X권 정의 II 6]
그러므로 주어진 이항 선분과 길이를 같은 단위로 측정할 수 있는 선분은 같은 종류의 이항 선분이다.
Q.E.D.
이 명제는 «원론»의 이후 명제에서 사용되지 않는다.