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증명

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이항 선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$에 대하여, $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$와 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$가 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러면, $\mathrm{C}\mathrm{D}$도 이항 선분임을 보이자.

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$는 이항 선분이므로, 어떤 점 $\mathrm{E}$로 선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$를 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}>\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$이 되게 나누자. 그러면 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$, $\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$는 유리수이며 단 ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}}^2$, ${\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}}^2$ 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 36]

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}:\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$이 되도록 선분 $\mathrm{C}\mathrm{D}$와 점 $\mathrm{F}$를 잡자. [VI권 명제 12] 그러면 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$이다. [V권 명제 19] 그런데 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$와 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$는 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$와 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$도 같은 단위로 측정할 수 있고, $\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$와 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$도 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11] 그리고 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$와 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$는 유리수이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$와 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$는 유리수이다.

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}:\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}=\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$이다. [V권 명제 11] 그러므로 바꾼 비례식에 의해서 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}:\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}:\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$이다. [V권 명제 16] 그런데 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$와 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$는 단 ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}}^2$과 ${\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}}^2$ 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$와 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$도 단 ${\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}}^2$와 ${\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}}^2$ 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11] 그리고 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$와 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$는 유리수이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$는 이항 선분이다. [X권 명제 36]

다음으로 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$는 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$와 같은 이항 선분임을 보이자. ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}}^2$는 ${\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}}^2$와 $\overline{AE}$와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 합과 같거나 아니면 $\overline{AE}$와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 합과 같다.

만약 ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}}^2$는 ${\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}}^2$와 $\overline{AE}$와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 합과 같다고 하자. 그러면 ${\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}}^2$는 ${\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}}^2$와 $\overline{CF}$와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 합과 같다. [X권 명제 14]

그리고 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$가 주어진 유리수와 같은 단위로 측정할 수 있으면 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$도 그 유리수와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 12] 그렇기 때문에 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$는 첫 번째 이항 선분이다. [X권 정의 II 1] 즉, 같은 종류의 이항 선분이다.

만약 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$가 주어진 유리수와 같은 단위로 측정할 수 있으면 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$도 그 유리수와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 12] 그렇기 때문에 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$는 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$와 같은 종류의 이항 선분이 된다. 두 선분 모두 두 번재 이항 선분이다 [X권 정의 II 2]

그러나 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$, $\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$ 모두 주어진 유리수와 같은 단위로 측정할 수 없으면, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$, $\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$ 모두 주어진 유리수와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13] 그러므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$는 세 번째 이항 선분이다. [X권 정의 II 3]

만약 ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}}^2$는 ${\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}}^2$와 $\overline{AE}$와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 합과 같다고 하자. 그러면 ${\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}}^2$는 ${\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}}^2$와 $\overline{CF}$와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 합과 같다. [X권 명제 14]

그리고 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$를 주어진 유리수와 같은 단위로 측정할 수 있으면 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$도 그 유리수와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$는 네 번째 이항 선분이다. [X권 정의 II 4] 만약 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$를 같은 단위로 측정할 수 있으면 , $\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$도 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$는 다섯 번째 이항 선분이다. [X권 정의 II 5]

만약 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$, $\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$ 모두 같은 단위로 측정할 수 없으면 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$, $\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$도 모두 주어진 유리수와 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$는 여섯 번째 이항 선분이다. [X권 정의 II 6]

그러므로 주어진 이항 선분과 길이를 같은 단위로 측정할 수 있는 선분은 같은 종류의 이항 선분이다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 «원론»의 이후 명제에서 사용되지 않는다.