X 권
명제
선분에서 어떤 선분을 뺏는데, 각각 이 두 선분들을 변으로 하는 두 정사각형의 넓이는 같은 단위로 측정할 수 없고, 이 두 정사각형 넓이의 합은 유리수이고, 이 두 선분이 두 변인 직사각형 넓이는 네제곱근 평균이라 하자. 그러면 남은 선분은 무리수이다. 이것을 ‘작은 선분’이라 하자.
선분 \(\rm AB\)에서 선분 \(\rm BC\)를 빼자. \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 \({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 유리수이고 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 네제곱근 평균이라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수이다. 이 선분을 ‘작은 선분’이라 하자.
선분 \(\rm AB\)에서 선분 \(\rm BC\)를 빼자. \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 \({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 유리수이고 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 네제곱근 평균이라 하자. [X권 명제 33] 그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수임을 보이자. 이 선분을 ‘작은 선분’이라 하자.
\({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 유리수이고 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 네제곱근 평균이므로, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)은 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 앞의 것과 뺀 것과의 비례식에 의해서 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)은 \({\overline{\rm AC}}^2\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [II권 명제 7, X권 명제 16]
그런데 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 유리수이다. 그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2\)는 무리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수이다. 이 선분을 ‘작은 선분’이라 한다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 82]에서 사용되었고, [X권] 이후 명제에서 가끔씩 사용된다.
이 명제를 대수적으로 나타내면 \(\overline{\rm AB}=\frac{\rho}{\sqrt{2}}\sqrt{1+\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}}\), \(\overline{\rm BC}=\frac{\rho}{\sqrt{2}}\sqrt{1-\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}}\)과 같다.