X 권
명제
넓이가 제곱근 평균이며 뺀 첫 번째 선분을 변으로 하는 정사각형이 있다. 이 정사각형 넓이와 같은 한 변의 길이가 유리수인 직사각형의 나머지 변은 두 번째 뺀 선분이다.
주어진 첫 번째 뺀 선분 \(\rm AB\)는 \(\overline{\rm AB}\)는 제곱근 평균이다. 길이가 유리수 \(\overline{\rm CD}\)인 선분 \(\rm CD\) 위에 넓이가 \({\overline{\rm }}^2\)이고 한 변이 선분 \(\rm CD\)인 직사각형 \(\rm CDEF\)를 작도하자. 그러면 직사각형의 나머지 변 \(\rm CF\)는 두 번째 뺀 선분이다.
주어진 첫 번째 뺀 선분 \(\rm AB\)는 \(\overline{\rm AB}\)는 제곱근 평균이다. 길이가 유리수 \(\overline{\rm CD}\)인 선분 \(\rm CD\) 위에 넓이가 \({\overline{\rm }}^2\)이고 한 변이 선분 \(\rm CD\)인 직사각형 \(\rm CDEF\)를 작도하자. 그러면 직사각형의 나머지 변 \(\rm CF\)는 두 번째 뺀 선분임을 보이자.
선분 \(\rm AB\)에 일직선이 되도록 선분 \(\rm BG\)를 붙이자. 그러면 \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GB}\)는 제곱근 평균이고 단 \({\overline{\rm AG}}^2\), \({\overline{\rm GB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\)는 유리수이다. [X권 명제 74]
(직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2\)인 한 변이 \(\rm CD\)인 직사각형 \(\rm CDHK\)를 작도하자. 그러면 나머지 변은 \(\rm CK\)이다. 그리고 (직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)\(={\overline{\rm GB}}^2\) 직사각형 \(\rm KHLM\)를 작도하자. 그러면 나머지 변은 \(\rm KM\)이다.
그러면 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\) 따라서 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)은 제곱근 평균이다. [X권 명제 15, 명제 23 따름 명제] 이 직사각형의 \(\overline{\rm CD}\)는 유리수이고 나머지 변 \(\overline{\rm CM}\)은 유리수이며 \(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
또한 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)이고, 따라서 \(2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}=\)(직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)이다. [II권 명제 7] 그런데 \(2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\)는 유리수이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)도 유리수이다. 따라서 \(\overline{\rm FM}\)도 유리수이며 \(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 20]
\({\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2=\)(직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)이 제곱근 평균이며, \(2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}=\)(직사각형 \(\rm FELM\)은 유리수이므로 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)과 (직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그런데 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)\(=\overline{\rm CM}:\overline{\rm FM}\)이다. [V권 명제 1] 그러므로 \(\overline{\rm CM}\)과 \(\overline{\rm FM}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
\(\overline{\rm CM}\)과 \(\overline{\rm FM}\) 모두 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm CM}\)과 \(\overline{\rm FM}\)은 유리수이며 단 \({\overline{\rm CM}}^2\)과 \({\overline{\rm FM}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 선분 \(\overline{\rm CF}\)는 뺀 선분이다. [X권 명제 73]
이제 \(\overline{\rm CF}\)가 두 번째 뺀 선분임을 보이자.
선분 \(\rm FM\)의 중점을 \(\rm N\)이라 하자. 점 \(\rm N\)에서 선분 \(\rm CD\)에 평행하게 선분 \(\rm NO\)를 긋자. 그러면 (직사각형 \(\rm FEON\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2\), (직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\(={\overline{\rm GM}}^2\)이다.
\(\left(\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\right)^2={\overline{\rm AG}}^2\cdot{\overline{\rm GB}}^2\)이며, \({\overline{\rm AG}}^2=\)(직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)이고, \(\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}=\)(직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)이고, \({\overline{\rm BG}}^2=\)(정사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\(\cdot\)(정사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\(:\)(정사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)이다.
그런데 (직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\(=\)\(\overline{\rm CK}:\overline{\rm NM}\)이고, (직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\(:\)(정사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)\(=\)\(\overline{\rm NM}:\overline{\rm KM}\)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 \(\overline{\rm CK}:\overline{\rm NM}=\overline{\rm NM}:\overline{\rm KM}\)이다. [V권 명제 11] 그러므로 \(\overline{\rm CK}\cdot\overline{\rm KM}={\overline{\rm NM}}^2=\frac14\cdot{\overline{\rm FM}}^2\)이다. [VI권 명제 17]
그러므로 \(\overline{\rm CM}\)과 \(\overline{\rm MF}\)는 \(\overline{\rm CM}\ne\overline{\rm MF}\)이고, \(\overline{\rm CK}\cdot\overline{\rm KM}=\frac14\cdot{\overline{\rm FM}}^2\)이며 두 변 \(\rm CK\), \(\rm KM\)인 직사각형은 정사각형을 뺀 모양인데, 긴 선분 \(\rm CM\) 위에 작도하면 선분 \(\rm CM\)은 같은 단위로 측정할 수 있는 두 선분으로 나누어지며, \({\overline{\rm CM}}^2={\overline{\rm MF}}^2+\)(\(\overline{\rm CM}\)과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로하는 정사각형 넓이)이다. [X권 명제 17] 그리고 \(\overline{\rm MF}\)는 유리수 \(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm CF}\)는 두 번째 뺀 선분이다. [X권 정의 III 2]
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 111]에서 사용된다.