X 권
명제
명제 4
같은 단위로 측정할 수 있는 세 수의 최대공약수를 구할 수 있다.
같은 단위로 측정할 수 있는 세 수 \(a\), \(b\), \(c\)가 있다. 그러면 \(a\), \(b\), \(c\)의 최대공약수를 구할 수 있다.
X 권
명제
같은 단위로 측정할 수 있는 세 수의 최대공약수를 구할 수 있다.
같은 단위로 측정할 수 있는 세 수 \(a\), \(b\), \(c\)가 있다. 그러면 \(a\), \(b\), \(c\)의 최대공약수를 구할 수 있다.
같은 단위로 측정할 수 있는 세 수 \(a\), \(b\), \(c\)가 있다.
그러면 \(a\), \(b\), \(c\)의 최대공약수를 구할 수 있음을 보여야 한다.
\(a\), \(b\)의 최대공약수가 존재하고 이를 d라고 하자. [X권 명제 3]
그러면 \(d\)는 \(c\)를 나누거나 나누지 못한다.
1) \(d\)가 \(c\)를 나눈다고 가정하자.
그러면 \(d\)는 \(c\)를 나누고, \(d\)는 \(a\), \(b\)를 모두 나누므로 \(d\)는 \(a\), \(b\), \(c\)를 모두 나눈다. 즉, \(d\)는 \(a\), \(b\), \(c\)의 공약수이다.
그리고 \(d\)는 \(a\), \(b\), \(c\)의 공약수 중 가장 큰 것은 자명하다. 왜냐하면 \(d\) 보다 큰 수는 \(a\), \(b\)를 나눌 수 없기 때문이다.
2) \(d\)가 \(c\)를 나누지 못한다고 가정하자.
먼저 \(c\), \(d\)는 같은 단위로 측정할 수 있음을 보이자.
\(a\), \(b\), \(c\)는 같은 단위로 측정할 수 있다고 하였으므로 어떤 수 공약수가 존재한다. 그 공약수는 \(a\), \(b\)도 나눈다. 나누는 수 중 가장 큰 \(d\)도 나눈다. [X권 명제 3 따름명제]
그런데 그 수는 \(c\)도 나눈다. 그러므로 \(c\), \(d\)를 모두 나눈다. 즉, 그 수는 \(c\), \(d\)의 공약수이다. 그러므로 \(c\), \(d\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
\(c\), \(d\)의 최대공약수를 \(e\)라 하자. [X권 명제 3]
\(e\)는 \(d\)를 나누고, \(d\)는 \(a\), \(b\)를 나누므로 \(e\)도 \(a\), \(b\)를 나눈다. 그런데 \(e\)는 \(c\)도 나눈다. 그러므로 \(e\)는 \(a\), \(b\), \(c\) 모두 나눈다. 즉, \(c\)는 \(a\), \(b\), \(c\)의 공약수이다.
다음으로 \(e\)가 \(a\), \(b\), \(c\)의 공약수 중 가장 큰 수임을 보이자.
만약 \(e\) 보다 더 큰 공약수 \(f\)가 있다고 하자. 그러면 \(f\)는 \(a\), \(b\), \(c\)를 공통으로 나눈다.
\(f\)가 \(a\), \(b\), \(c\)를 나누므로 \(f\)는 \(a\), \(b\)를 나눈다. 그러므로 \(f\)는 \(a\), \(b\)의 최대공약수를 나눈다. [X권 명제 3 따름명제] 그런데 \(a\), \(b\)의 최대공약수는 \(d\)이다. 그러므로 \(f\)는 \(d\)를 나눈다.
그런데 \(f\)는 또한 \(c\)를 나눈다. 그러므로 \(f\)는 \(c\), \(d\)를 나눈다. 그러므로 \(f\)는 \(c\), \(d\)의 최대공약수를 나눈다. [X권 명제 3 따름명제] 그런데 \(c\), \(d\)의 최대공약수는 \(e\)이다.
그러므로 \(f\)는 \(e\)를 나눈다. \(f>e\)인 f가 \(e\)를 나누므로 모순이다. 그러므로 \(e\) 보다 큰 수는 \(a\), \(b\), \(c\)를 나누지 못한다.
그러므로 \(d\)가 \(c\)를 나누지 못하는 경우에 \(e\)가 \(a\), \(b\), \(c\)의 최대공약수이고 \(d\)가 \(c\)를 나누는 경우 \(d\)가 \(a\), \(b\), \(c\)의 최대공약수이다.
그러므로 같은 단위로 측정할 수 있는 세 수의 최대공약수를 구할 수 있다.
Q.E.D.
이 명제에 의해서 같은 단위로 측정할 수 있는 세 수의 최대공약수를 구할 수 있다.
같은 방법으로 같은 단위로 측정할 수 있는 여러 개의 수들의 최대공약수를 구할 수 있다. 그러므로 이 명제에서 수의 개수를 계속해서 증가시킬 수 있다.
이 명제는 [VII권 명제 3]과 같은 명제이다. 이 명제와 마지막 명제는 측정 가능한 수의 공약수를 찾는 방법을 설명한다. 명시적으로 언급되지는 않았지만, 이 명제는 측정 가능한 수의 공약수를 사용하는 후속 명제와 관련되어 있다.