X 권
명제
명제 53
여섯 번째 이항 선분을 작도할 수 있다.
여섯 번째 이항 선분을 작도할 수 있다.
X 권
명제
여섯 번째 이항 선분을 작도할 수 있다.
여섯 번째 이항 선분을 작도할 수 있다.
두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)를 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}\)와 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}\) 모두 제곱수의 비가 아니게 잡자. 제곱 수가 아닌 \(d\)를 \(d:\overline{\rm BA}\) 또는 \(d:\overline{\rm AC}\)가 제곱수의 비가 아니게 잡자.
주어진 유리수 \(e\)에 대하여, \(d:\overline{\rm AB}=e^2:{\overline{\rm FG}}^2\)이 되도록 선분 \(\rm FG\)를 잡자. [X권 명제 6 따름명제] 그러면 \(e^2\)과 \({\overline{\rm FG}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6] 그러므로 \(e\)는 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)도 유리수이다.
\(d:{\overline{\rm AB}}\)는 제곱수의 비가 아니므로, \(e^2:{\overline{\rm FG}}^2\)도 제곱수의 비가 아니다. 그러므로 \(e\)와 \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]
다음으로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}={\overline{\rm FG}}^2:{\overline{\rm GH}}^2\)인 선분 \(\overline{\rm GH}\)를 잡자. [X권 명제 6 따름명제] 그러면 \({\overline{\rm FG}}^2\)과 \({\overline{\rm GH}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6] 그러므로 \({\overline{\rm GH}}^2\)는 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm GH}\)도 유리수이다.
\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}\)는 제곱수의 비가 아니므로, \({\overline{\rm FG}}^2:{\overline{\rm GH}}^2\)도 제곱수의 비가 아니다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)와 \(\overline{\rm GH}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9] 그리고 \(\overline{\rm FG}\)와 \(\overline{\rm GH}\)는 유리수이다. 단지 \({\overline{\rm FG}}^2\)와 \({\overline{\rm GH}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm FH}\)는 이항 선분이다. [X권 명제 36]
\(\overline{\rm FH}\)이 여섯 번째 이항 선분임을 보이자.
\(d:\overline{\rm AB}=e^2:{\overline{\rm FG}}^2\)이고 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}={\overline{\rm AG}}^2:{\overline{\rm GH}}^2\)이다. 그러므로 같은 위치에 있는 비는 같으므로 \(d:\overline{\rm AC}=e^2:{\overline{\rm GH}}^2\)이다. [V권 명제 22] 그런데 \(d:\overline{\rm AC}\)는 제곱수의 비와 같지 않다. 그러므로 \(e^2:{\overline{\rm GH}}^2\)도 제곱수의 비와 같지 않다. 그러므로 \(e\)와 \(\overline{\rm GH}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]
그런데 \(e\)와 \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없음을 보였다. 따라서 두 선분 \(\overline{\rm FG}\)와 \(\overline{\rm GH}\)는 \(e\)와 같은 단위로 측정할 수 없다.
그리고 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}={\overline{\rm AC}}^2:{\overline{\rm GH}}^2\)이다. 그러므로 \({\overline{\rm FG}}^2>{\overline{\rm GH}}^2\)이다. \({\overline{\rm GH}}^2+k^2={\overline{\rm FG}}^2\)이다. 그러면 전자를 뺀 비례식에 의해서 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}={\overline{\rm FG}}^2:k^2\)이다. [V권 명제 19 따름명제]
그런데 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}\)는 제곱수의 비가 아니다. 그러므로 \({\overline{\rm FG}}^2:k^2\)도 제곱수의 비가 아니다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)와 \(k\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]
그러므로 \({\overline{\rm FG}}^2\)는 \({\overline{\rm GH}}^2\)와 \(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 길이를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같다. 그리고 \(\overline{\rm FG}\)와 \(\overline{\rm GH}\)는 유리수이며, 단지 \({\overline{\rm FG}}^2\)와 \({\overline{\rm GH}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 또한 \(\overline{\rm FG}\)와 \(\overline{\rm GH}\) 모두 \(e\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm, FH}\)는 여섯 번째 이항 선분이다.
Q.E.D.
이 명제는 이후 원론에서 더 이상 사용되지 않는다.
이를 대수적으로 나타내면 다음과 같다. \(\rho\)는 유리수 \(p\), \(m\), \(n\)은 양의 정수이고, \(m+n:m\)과 \(m+n:n\) 모두 제곱수의 비가 아니다. 또한 \(p:m+n\), \(p:m\) 모두 제곱수의 비가 아니다.
\(\overline{\rm AC}=m\), \(\overline{\rm CB}=n\),
\(d=p\), \(e=\rho\),
\(\displaystyle\overline{\rm FG}=\rho\sqrt{\frac{m+n}{p}}\), \(\displaystyle\overline{\rm GH}=\rho\sqrt{\frac{m}{p}}\),
\(\displaystyle k=\rho\sqrt{\frac{n}{p}}\)