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증명

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두 선분 $\mathrm{A}\mathrm{C}$, $\mathrm{C}\mathrm{B}$를 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$와 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}$ 모두 제곱수의 비가 아니게 잡자. 제곱 수가 아닌 $d$를 $d:\overline{\mathrm{B}\mathrm{A}}$ 또는 $d:\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}$가 제곱수의 비가 아니게 잡자.

주어진 유리수 $e$에 대하여, $d:\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=e^2:{\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}}^2$이 되도록 선분 $\mathrm{F}\mathrm{G}$를 잡자. [X권 명제 6 따름명제] 그러면 $e^2$과 ${\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}}^2$은 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6] 그러므로 $e$는 유리수이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}$도 유리수이다.

$d:\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$는 제곱수의 비가 아니므로, $e^2:{\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}}^2$도 제곱수의 비가 아니다. 그러므로 $e$와 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}$는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]

다음으로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}={\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}}^2:{\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}}^2$인 선분 $\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}$를 잡자. [X권 명제 6 따름명제] 그러면 ${\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}}^2$과 ${\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}}^2$는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6] 그러므로 ${\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}}^2$는 유리수이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}$도 유리수이다.

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}$는 제곱수의 비가 아니므로, ${\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}}^2:{\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}}^2$도 제곱수의 비가 아니다. 그러므로 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}$와 $\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}$는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9] 그리고 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}$와 $\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}$는 유리수이다. 단지 ${\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}}^2$와 ${\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}}^2$ 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{H}}$는 이항 선분이다. [X권 명제 36]

$\overline{\mathrm{F}\mathrm{H}}$이 여섯 번째 이항 선분임을 보이자.

$d:\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=e^2:{\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}}^2$이고 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}={\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}}^2:{\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}}^2$이다. 그러므로 같은 위치에 있는 비는 같으므로 $d:\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}=e^2:{\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}}^2$이다. [V권 명제 22] 그런데 $d:\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}$는 제곱수의 비와 같지 않다. 그러므로 $e^2:{\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}}^2$도 제곱수의 비와 같지 않다. 그러므로 $e$와 $\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}$는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]

그런데 $e$와 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}$는 같은 단위로 측정할 수 없음을 보였다. 따라서 두 선분 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}$와 $\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}$는 $e$와 같은 단위로 측정할 수 없다.

그리고 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}={\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}}^2:{\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}}^2$이다. 그러므로 ${\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}}^2>{\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}}^2$이다. ${\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}}^2+k^2={\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}}^2$이다. 그러면 전자를 뺀 비례식에 의해서 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}={\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}}^2:k^2$이다. [V권 명제 19 따름명제]

그런데 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$는 제곱수의 비가 아니다. 그러므로 ${\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}}^2:k^2$도 제곱수의 비가 아니다. 그러므로 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}$와 $k$는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]

그러므로 ${\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}}^2$는 ${\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}}^2$와 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}$와 같은 단위로 측정할 수 없는 길이를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같다. 그리고 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}$와 $\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}$는 유리수이며, 단지 ${\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}}^2$와 ${\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}}^2$ 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 또한 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}$와 $\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}$ 모두 $e$와 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 $\overline{,\mathrm{F}\mathrm{H}}$는 여섯 번째 이항 선분이다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 이후 원론에서 더 이상 사용되지 않는다.

이를 대수적으로 나타내면 다음과 같다. $\rho$는 유리수 $p$, $m$, $n$은 양의 정수이고, $m+n:m$과 $m+n:n$ 모두 제곱수의 비가 아니다. 또한 $p:m+n$, $p:m$ 모두 제곱수의 비가 아니다.

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}=m$, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{B}}=n$,

$d=p$, $e=\rho$,

${\displaystyle \overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}=\rho \sqrt{\frac{m+n}{p}}}$, ${\displaystyle \overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}=\rho \sqrt{\frac{m}{p}}}$,

${\displaystyle k=\rho \sqrt{\frac{n}{p}}}$