X 권
명제
길이가 유리수인 선분 위에 이 선분을 밑변으로 하는 넓이가 유리수인 직사각형을 그리자. 그러면 직사각형의 높이는 유리수이며, 밑변과 높이는 같은 단위로 측정할 수 있다.
유리수 길이 \(\overline{\rm AB}\)인 선분 \(\rm AB\) 위에 높이가 \(\overline{\rm BC}\)인 넓이가 유리수인 직사각형 \(\rm ABCE\)을 그리자. 그러면 \(\overline{\rm BC}\)는 유리수이고, \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
유리수 길이 \(\overline{\rm AB}\)인 선분 \(\rm AB\) 위에 높이가 \(\overline{\rm BC}\)인 직사각형 \(\rm ABCE\)을 그리자.
그러면 \(\overline{\rm BC}\)는 유리수이고, \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있음을 보여야 한다.
선분 \(\rm AB \) 위에 정사각형 \(\rm ABDF\)를 그리자. 그러면 \(\rm ABDF\) 넓이는 유리수이다. [X권 정의 4]
그러데 직사각형 \(\rm ABCE\) 넓이도 유리수이다. 그러므로 \(\rm ABDF\) 넓이, 직사각형 \(\rm ABCE\) 넓이는 같은 단위로 측정할 수 있다.
그런데 (\(\rm ABDF\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm ABCE\) 넓이)\(=\overline{\rm DB}:\overline{\rm BC}\)이다. [VI권 명제 1]
그러므로 \(\overline{\rm DB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11]
그리고 \(\overline{\rm DB}=\overline{\rm BA}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
그런데 \(\overline{\rm AB}\)가 유리수이므로 \(\overline{\rm BC}\)도 유리수이다.
그러므로 길이가 유리수인 선분 위에 이 선분을 밑변으로 하는 넓이가 유리수인 직사각형을 그리자. 그러면 직사각형의 높이는 유리수이며, 밑변과 높이는 같은 단위로 측정할 수 있다.
Q.E.D.
이 명제는 이전 명제의 역으로 정사각형 대신 직사각형을 대체한 점을 빼고 모두 같다.
현대적인 표현으로 나타내어 보자. \(\overline{\rm AB}=a\), \(\overline{\rm BC}=b\)로 나타내자. (직사각형 \(\rm ABCE\) 넓이)\(=ab\)로 유리수라고 하자. \(a\)가 유리수이므로 \(a^2\)도 유리수이다. \(ab\), \(a^2\)이 유리수이므로 \(\frac{ab}{a^2}=\frac{b}{a}\)도 유리수이다. 다시 말해 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)은 같은 단위로 측정가능하다. 역시 \(b^2\)도 유리수이다. 따라서 \(\overline{\rm BC}\)도 유리수이다.
이 명제는 [X권 명제 26]을 시작으로 [X권]에서 자주 사용된다.