X 권
명제
명제 85
첫 번째 뺀 선분을 작도할 수 있다.
길이가 유리수 \(a\)인 주어진 선분에 대하여, \(\overline{\rm BG}\)는 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm BG}\)는 유리수이다.
X 권
명제
첫 번째 뺀 선분을 작도할 수 있다.
길이가 유리수 \(a\)인 주어진 선분에 대하여, \(\overline{\rm BG}\)는 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm BG}\)는 유리수이다.
길이가 유리수 \(a\)인 주어진 선분에 대하여, \(\overline{\rm BG}\)는 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm BG}\)는 유리수임을 보이자.
두 제곱수 \(\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm EF}\)는 \(\overline{\rm DE}-\overline{\rm EF}\)는 제곱수가 아니라고 하자. 그러면 \(\overline{\rm ED}:\overline{\rm DF}\)도 제곱수의 비율이 아니다.
\(\overline{\rm ED}:\overline{\rm DF}={\overline{\rm BG}}^2:{\overline{\rm GC}}^2\)을 만족하도록 선분 \(\rm BG\) 위의 점 \(\rm C\)를 잡자. [X권 명제 6 따름명제] 그러면 \({\overline{\rm BG}}^2\)와 \({\overline{\rm GC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6]
그런데 \({\overline{\rm BG}}^2\)는 유리수이다. 그러므로 \({\overline{\rm GC}}^2\)도 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm GC}\)도 유리수이다.
\(\overline{\rm ED}:\overline{\rm DF}\)는 제곱수:제곱수의 비율이 아니므로 \({\overline{\rm BG}}^2:{\overline{\rm GC}}^2\)도 제곱수:제곱수의 비율이 아니다. 그러므로 \(\overline{\rm BG}\)와 \(\overline{\rm GC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]
\(\overline{\rm BG}\)와 \(\overline{\rm GC}\)는 모두 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm BG}\)와 \(\overline{\rm GC}\)는 모두 유리수이며 단 \({\overline{\rm BG}}^2\)와 \({\overline{\rm GC}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm BC}\)가 뺀 선분이다. [X권 명제 73]
\(\overline{\rm BC}\)가 첫 번째 뺀 선분임을 보이자.
\(h^2={\overline{\rm BG}}^2-{\overline{\rm GC}}^2\)를 만족하는 길이가 \(h\)인 선분을 작도하자. \(\overline{\rm ED}:\overline{\rm FD}={\overline{\rm BG}}^2:{\overline{\rm GC}}^2\)이므로 전자와 뺀 것과의 비례식에 의해서 \(\overline{\rm ED}:\overline{\rm EF}={\overline{\rm GB}}^2:h^2\)이다. [V권 명제 19 따름명제]
그런데 \(\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}\)는 제곱수:제곱수의 비율이다. 왜냐하면 둘 다 제곱수이기 때문이다. 그러므로 \({\overline{\rm GB}}^2:h^2\)은 제곱수:제곱수의 비율이다. 그러므로 \(\overline{\rm BG}\)는 \(h\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 9]
그런데 \({\overline{\rm BG}}^2={\overline{\rm GC}}^2+h^2\)이다. 그러므로 \({\overline{\rm BG}}^2={\overline{\rm GC}}^2+\)(\(\overline{\rm BG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이다.
그리고 \(\overline{\rm BG}\)는 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm BG}\)는 첫 번째 뺀 선분이다. [X권 정의 III 1] 그러므로 첫 번째 뺀 선분 \(\rm BG\)를 작도할 수 있다.
Q.E.D.
이 명제는 이후 원론에서 더 이상 사용되지 않는다.
이 명제를 대수적으로 나타내면 다음과 같다.
\(k\)는 정수, 유리수 \(a=\rho\), \(m\)과 \(n\)은 \(m^2:n^2=\)제곱수:제곱수가 아니다.
\(m^2:\left(m^2-n^2\right)={\overline{\rm BG}}^2:{\overline{\rm GC}}^2=\left(k\rho\right)^2:k\rho\sqrt{1-\left(\frac nm \right)^2}\)
\(h^2=\left(k\rho\right)^2-\left(k\rho\right)^2\left(1-\left(\frac nm \right)^2\right)=\left(k\rho\right)^2\frac{n^2}{m^2}\)