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증명
네제곱근 평균과 더해서 네제곱근 넓이를 길이로 하는 선분 \(\rm AB\)가 있다. 선분 \(\rm AB\)에 선분 \(\rm BC\)를 이어 붙였다.
\(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 \({\overline{\rm AC}}^2\)과 \({\overline{\rm CB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수
있고, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)는 네제곱근 평균이며, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는
네제곱근 평균이지만, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)과는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. [X권 명제 78]
그러면 선분 \(\rm AB\)에다 이어 붙인 전체 선분 \(\rm AC\)과 붙인 선분 \(\rm CB\)는 위 조건을 만족하는 유일한 선분임을
보이자.
다른 선분 \(\overline{\rm BD}\)가 위 조건을 만족한다고 하자. 그래서 \(\overline{\rm AD}\), \(\overline{\rm DB}\)는
\({\overline{\rm AD}}^2\)과 \({\overline{\rm DB}}^2\) 은 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm
DB}}^2\)는 네제곱근 평균이며, \(2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)는 네제곱근 평균이지만 \({\overline{\rm
AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)와 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자.[X권 명제 78]
길이가 \(\overline{\rm EF}\)로 유리수인 선분 \(\overline{\rm EF}\)이 한 변이고 (직사각형 \(\rm EMGF\) 넓이)\(={\overline{\rm
AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)인 직사각형 \(\rm EMGF\)를 작도하자. 그러면 나머지 한 변이 \(\rm EM\)이다.
그리고 길이가 \(\overline{\rm EF}\)로 유리수인 선분 \(\overline{\rm EF}\)이 한 변이고 (직사각형 \(\rm HMGM\)
넓이)\(=2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)인 직사각형 \(\rm HMGM\)을 작도하자. 그러면 나머지 한 변은 \(\rm
HM\)이다.
이때 (직사각형 \(\rm EFLH\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm EMGF\) 넓이)\(-\)(직사각형 \(\rm HMGM\) 넓이)\(={\overline{\rm
AB}}^2\)이다. [II권 명제 7] 그러므로 \(\overline{\rm AB}\)는 (직사각형 \(\rm EFLH\) 넓이)와 같은 넓이를 같는 정사각형의
변이다.
그리고 한 변이 \(\rm EF\)이고 (직사각형 \(\rm EFIN\) 넓이)\({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)가 되도록 직사각형
\(\rm EFIN\)을 작도하자. 그러면 나머지 한 변이 \(\rm EN\)이다. 그런데 \({\overline{\rm AB}}^2\)\(=\)(직사각형 \(\rm EFLH\)
넓이)이다. 그러므로 \(2\cdot\overline{\rm }\cdot\overline{\rm }\)\(=\)(직사각형 \(\rm EFIN\) 넓이)\(-\)(직사각형 \(\rm
EFLH\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm HLIN\) 넓이)이다. [II권 명제 7]
\({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)는 네제곱근 평균이며 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm
CB}}^2\)\(=\)(직사각형 \(\rm EFGM\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm EFGM\) 넓이)도 네제곱근 평균이다. (직사각형 \(\rm EFGM\)
넓이)\(=\)\(\overline{\rm EF}\cdot\overline{\rm EM}\)이고 \(\overline{\rm EF}\)가 유리수 이므로 \(\overline{\rm EM}\)은
유리수이고 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
그리고 \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이며, \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm
CB}\)\(=\)(직사각형 \(\rm HLGM\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm HLGM\) 넓이)도 네제곱근 평균이다. (직사각형 \(\rm HLGM\)
넓이)\(=\)\(\overline{\rm EF}\cdot\overline{\rm HM}\)이고 \(\overline{\rm EF}\)가 유리수이므로 \(\overline{\rm HM}\)도
유리수이고 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
그리고 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)는 \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 같은 단위로
측정할 수 없으므로 (직사각형 \(\rm EFGM\) 넓이)과 (직사각형 \(\rm HLGM\) 넓이)도 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로
\(\overline{\rm EM}\)과 \(\overline{\rm HM}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [VI권 명제 1, X권 명제 11] \(\overline{\rm
EM}\)과 \(\overline{\rm HM}\)은 모두 유리수이며 단, \({\overline{\rm EM}}^2\), \({\overline{\rm HM}}^2\) 만을 같은 단위로
측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm EH}\)는 뺀 선분이며 \(\overline{\rm HM}\)을 그 선분에 이서 붙였다. [X권 명제 73]
같은 방법으로 \(\overline{\rm EH}\)도 뺀 선분이며 \(\overline{\rm HN}\)을 그 선분에 이어 붙였다. 그러므로 뺀 선분에 길이가
유리수이며 서로 다른 선분을 붙여서 붙인 선분과 전체 선분을 각각 변으로 하는 정삭가형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있다.
그러나 이것은 불가능하다. [X권 명제 79]
그러므로 선분 \(\rm AB\)에 어떤 선분을 이어 붙여서 붙인 선분과 전체 선분은 그들을 각각 변으로 하는 정사각형의 넓이만을 같은
단위로 측정할 수 없고, 각각의 선분을 변으로 하는 두 정사각형 넓이를 더한 것은 네제곱근 평균이며, 그 두 선분을 두 변으로 하는
직사각형 넓이의 두 배는 네제곱근 평균이지만 두 정사각형을 더한 넓이와는 같은 단위로 측정할 수 없는 선분은 붙인 선분 단 하나
뿐이다.
Q.E.D.
