X 권
명제
길이가 유리수인 선분을 변으로 한 정사각형 넓이와 같고 한 변이 뺀 선분인 직사각형의 나머지 한 변은 이항 선분이며, 이 선분의 항들은 뺀 선분의 항들과 같은 단위로 측정할 수 있고, 비율이 같으며, 뺀 선분과 같은 번째 종류인 이항 선분이다.
길이가 유리수 \(a\)인 선분이 있다. \(\rm BD\)는 뺀 선분이며, \(\overline{\rm BD}\cdot\overline{\rm KH}=a^2\)이라 하자. 즉, 길이가 유리수 \(a\)에 대하여 넓이가 \(a^2\)이고 한 변이 \(\rm BD\)인 직사각형 \(\rm BDKH\)의 나머지 한 변 \(\rm KH\)는 이항 선분이며 \(\overline{\rm KH}\)의 항은 \(\overline{\rm BD}\)와 항과 같은 단위로 측정할 수 있고, 비율이 같으며, \(\overline{\rm KH}\)와 \(\overline{\rm BD}\)는 같은 종류의 성분이다.
길이가 유리수 \(a\)인 선분이 있다. \(\rm BD\)는 뺀 선분이며, \(\overline{\rm BD}\cdot\overline{\rm KH}=a^2\)이라 하자. 즉, 길이가 유리수 \(a\)에 대하여 넓이가 \(a^2\)이고 한 변이 \(\rm BD\)인 직사각형 \(\rm BDKH\)의 나머지 한 변 \(\rm KH\)는 이항 선분이며 \(\overline{\rm KH}\)의 항은 \(\overline{\rm BD}\)와 항과 같은 단위로 측정할 수 있고, 비율이 같으며, \(\overline{\rm KH}\)와 \(\overline{\rm BD}\)는 같은 종류의 성분임을 보이자.
선분 \(\rm DC\)에 일직선이 되도록 선분 \(\rm BD\)를 잇자. 그러면 \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm BC}}^2\)와 \({\overline{\rm CD}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 73]
\(\overline{\rm BD}\cdot g=a^2\)가 되도록 잡자. \(a^2 \)이 유리수이므로 \(\overline{\rm BD}\cdot g\)도 유리수이다. \(\overline{\rm BC}\)가 유리수이므로 \(g\)도 유리수이며 \(\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 20]
\(\overline{\rm BC}\cdot g=\overline{\rm BD}\cdot\overline{\rm KH}\)이므로 \(\overline{\rm CB}:\overline{\rm BD}=\overline{\rm KH}:g\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm KH}>g\)이다. [V권 명제 16, 명제 14]
\(\overline{\rm KE}=g\)가 되도록 선분 \(\rm KE\)를 긋자. 그러면 \(\overline{\rm KE}\), \(\overline{\rm BG}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. 그리고 \(\overline{\rm CB}:\overline{\rm BD}=\overline{\rm HK}:\overline{\rm KE}\)이므로 전자와 뺀 것과 비례식에 따라 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm KH}:\overline{\rm HE}\)이다. [V권 명제 19 따름 명제]
\(\overline{\rm KH}:\overline{\rm HE}=\overline{\rm HF}:\overline{\rm FE}\)이 되도록 하자. 그러면 남은 선분 길이 \(\overline{\rm KF}:\overline{\rm FH}=\overline{\rm KH}:\overline{\rm HE}=\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}\)이다. [V권 명제 19] 그런데 \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\)는 단 \({\overline{\rm BC}}^2\)와 \({\overline{\rm CD}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm KF}\), \(\overline{\rm FH}\)는 단 \({\overline{\rm KF}}^2\)와 \({\overline{\rm FH}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11]
\(\overline{\rm KH}:\overline{\rm HE}=\overline{\rm KF}:\overline{\rm FH}\)이고, \(\overline{\rm KH}:\overline{\rm HE}=\overline{\rm HF}:\overline{\rm FE}\)이므로 \(\overline{\rm KF}:\overline{\rm FH}=\overline{\rm HF}:\overline{\rm FE}\)이다. [V권 명제 11] 그런데 첫째와 셋째의 비율은 첫째로 만든 정사각형과 둘째로 만든 정사각형의 넓이 비율과 같다. [V권 정의 9] 그러므로 \(\overline{\rm KF}:\overline{\rm FE}={\overline{\rm KF}}^2:{\overline{\rm FE}}^2\)이다.
그런데 \({\overline{\rm KF}}^2\)와 \({\overline{\rm FH}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm KF}\)와 \(\overline{\rm FE}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11] 그러므로 \(\overline{\rm KF}\)와 \(\overline{\rm KE}\)도 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 15] 그런데 \(\overline{\rm KE}\)는 유리수이며 \(\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm KF}\)의 길이도 유리수이며 \(\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 12]
\(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm KF}:\overline{\rm FH}\)이므로 바꾼 비례식에 의해서 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm KF}=\overline{\rm CD}:\overline{\rm FH}\)이다. [V권 명제 16] 그런데 \(\overline{\rm BC}\)와 \(\overline{\rm KF}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm FH}\)와 \(\overline{\rm CD}\)도 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11]
그런데 \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm BC}}^2\)와 \({\overline{\rm CD}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm KF}\), \(\overline{\rm FH}\)는 유리수이며 [X권 정의 3] 단 \({\overline{\rm KE}}^2\)와 \({\overline{\rm FH}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm KH}\)는 이항 선분이다. [X권 명제 86]
\({\overline{\rm BC}}^2={\overline{\rm CD}}^2+\)(\(\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이면 \({\overline{\rm KF}}^2={\overline{\rm FH}}^2+\)(\(\overline{\rm KF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이다. [X권 명제 14]
\(\overline{\rm BC}\)가 유리수인 선분과 같은 단위로 측정할 수 있으면 \(\overline{\rm KF}\)도 같은 단위로 측정할 수 있고, 만약 \(\overline{\rm CD}\)가 주어진 유리수 선분과 같은 단위로 측정할 수 있으면 \(\overline{\rm FH}\)도 주어진 유리수 선분과 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm BC}\)와 \(\overline{\rm CD}\)가 주어진 유리수 선분과 같은 단위로 측정할 수 없으면 \(\overline{\rm KF}\)와 \(\overline{\rm FH}\)도 주어진 유리수 서분과 같은 단위로 측정할 수 없다.
만약 \({\overline{\rm BC}}^2={\overline{\rm CD}}^2+\)(\(\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이면, \({\overline{\rm KF}}^2={\overline{\rm FH}}^2+\)(\(\overline{\rm KF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이다. [X권 명제 14]
만약 \(\overline{\rm BC}\)가 유리수인 선분과 같은 단위로 측정할 수 있으면 \(\overline{\rm KF}\)도 같은 단위로 측정할 수 있고, 만약 \(\overline{\rm CD}\)가 주어진 유리수 선분과 같은 단위로 측정할 수 있으면 \(\overline{\rm FH}\)도 주어진 유리수 선분과 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm BC}\)와 \(\overline{\rm CD}\)가 주어진 유리수 선분과 같은 단위로 측정할 수 없으면 \(\overline{\rm KF}\)와 \(\overline{\rm FH}\)도 주어진 유리수 서분과 같은 단위로 측정할 수 없다.
그러므로 \(\overline{\rm KH}\)는 이항 선분이며, 이 선분의 항 \(\overline{\rm KF}\), \(\overline{\rm FH}\)는 뺀 선분의 항 \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으며, 그 비율도 같고 \(\overline{\rm KH}\)와 \(\overline{\rm BD}\)는 같은 종류의 선분이다.
Q.E.D.
이 명제는 [원론]에서 이후 명제에서 사용되지 않는다.