X 권
명제
명제 68
큰 선분의 길이를 같은 단위로 측정할 수 있는 선분은 큰 선분이다.
큰 선분 \(\rm AB\)에 대하여, \(\overline{\rm CD}\)가 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 선분 \(\rm CD\)는 큰 선분이다.
X 권
명제
큰 선분의 길이를 같은 단위로 측정할 수 있는 선분은 큰 선분이다.
큰 선분 \(\rm AB\)에 대하여, \(\overline{\rm CD}\)가 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 선분 \(\rm CD\)는 큰 선분이다.
큰 선분 \(\rm AB\)에 대하여, \(\overline{\rm CD}\)가 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 선분 \(\rm CD\)는 큰 선분임을 보이자.
선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm E\)로 나누자. 나누어진 두 선분 \(\rm AE\), \(\rm EB\)는 \({\overline{\rm AE}}^2\)와 \({\overline{\rm EB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없으며, \({\overline{\rm AE}}^2+{\overline{\rm EB}}^2\)는 유리수이며, \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)는 제곱근 평균이다. [X권 명제 39]
앞의 명제와 같이 도형을 작도하자. 그러면 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm AE}:\overline{\rm CF}\)이고 또한 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm EB}:\overline{\rm FD}\)이다. 그리고 \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm CF}=\overline{\rm EB}:\overline{\rm FD}\)이다. [V권 명제 11]
그런데 \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm CD}\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm CF}\)도 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm EB}\)와 \(\overline{\rm FD}\)도 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11]
\(\overline{\rm AE}:\overline{\rm CF}=\overline{\rm EB}:\overline{\rm FD}\)이므로 바꾼 비례식 \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm FD}\)이 성립한다. [V권 명제 16] 그러므로 더한 비례식 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BE}=\overline{\rm CD}:\overline{\rm DF}\) [V권 명제 18]이다. 그러므로 \({\overline{\rm AB}}^2:{\overline{\rm BE}}^2={\overline{\rm CD}}^2:{\overline{\rm DF}}^2\)이다. [VI권 명제 20]
같은 방법으로 \({\overline{\rm AB}}^2:{\overline{\rm AE}}^2={\overline{\rm CD}}^2:{\overline{\rm CF}}^2\)임을 보일 수 있다. 그리고 \({\overline{\rm AB}}^2:\left({\overline{\rm AE}}^2+{\overline{\rm EB}}^2\right)={\overline{\rm CD}}^2:\left({\overline{\rm CF}}^2+{\overline{\rm FD}}^2\right)\)이다. 그리고 바꾼 비례식에 의해서 \({\overline{\rm AB}}^2:{\overline{\rm CD}}^2=\left({\overline{\rm AE}}^2+{\overline{\rm EB}}^2\right):\left({\overline{\rm CF}}^2+{\overline{\rm FD}}^2\right)\)이다. [V권 명제 16]
그런데 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 \({\overline{\rm CD}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \({\overline{\rm AE}}^2+{\overline{\rm EB}}^2\)와 \({\overline{\rm CF}}^2+{\overline{\rm FD}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있다. 그런데 \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)는 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)도 유리수이다.
같은 방법으로 \(2\cdot\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)는 \(2\cdot\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그런데 \(2\cdot\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)은 제곱근 평균이다. 그러므로 \(2\cdot\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)도 제곱근 평균이다. [X권 명제 23 따름 명제]
그러므로 두 선분 \(\rm CF\), \(\rm FD\)는 \({\overline{\rm CF}}^2\)와 \({\overline{\rm FD}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없으며, \({\overline{\rm CF}}^2+{\overline{\rm FD}}^2\)는 유리수이며, \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)는 제곱근 평균이다. 그러므로 \(\overline{\rm CD}\)는 무리수이며, \(\rm CD\)는 큰 선분이다. [X권 명제 39] 그러므로 큰 선분과 길이를 같이 잴 수 있는 선분은 큰 선분이다.
Q.E.D.
이 명제는 이후 명제에서 사용되지 않는다.