Proposition 31 of Book X

X 권

명제

명제 31

길이가 네제곱근 평균인 두 선분으로 이들 길이가 한 변인 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 이 두 선분이 두 변인 직사각형 넓이의 제곱은 유리수이며, 긴 선분이 한 변인 정사각형 넓이는 짧은 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 긴 선분의 길이와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 같은 두 선분이 존재한다.

$a > b$ 이며 길이가 네제곱근 평균인 $a$ , $b$ 는 같은 단위로 측정할 수 없고, $a^{2}$ , $b^{2}$ 은 같은 단위로 측정할 수 있으며 또한 ${(a b)}^{2}$ 는 유리수이고 $a^{2}$ 은 $b^{2}$ 과 $a$ 와 같은 단위로 측정할 수 있는 수의 제곱의 합과 같은 수 $a$ , $b$ 가 존재한다.

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증명

$a > b$ 이며 길이가 네제곱근 평균인 $a$ , $b$ 는 같은 단위로 측정할 수 없고, $a^{2}$ , $b^{2}$ 은 같은 단위로 측정할 수 있으며 $a^{2}$ 은 $b^{2}$ 과 $a$ 와 같은 단위로 측정할 수 있는 수의 제곱의 합과 같은 수 $a$ , $b$ 가 존재함을 보여야 한다.

$a > b$ 인 길이 $a$ , $b$ 는 같은 단위로 측정할 수 없고 $a^{2}$ , $b^{2}$ 은 같은 단위로 측정할 수 있으며 $a^{2}$ 은 $b^{2}$ 과 $a$ 와 같은 단위로 측정할 수 있는 수의 제곱의 합과 같도록 잡자. [X권 명제 29]

$c^{2} = a b$ 이 되도록 $c$ 를 잡자. $a b$ 는 네제곱근 평균이므로 [X권 명제 21], $c^{4}$ 도 유리수이다. [X권 명제 21] 그러므로 $c$ 도 네제곱근 평균이다.

$c d = b^{2}$ 을 만족하는 $d$ 가 존재한다. $b^{4}$ 은 유리수이므로, ${(c d)}^{2}$ 도 유리수이다.

$a : b = a b : b^{2}$ 이고 $c^{2} = a b$ , $c d = b^{2}$ 이므로 $a : b = c^{2} : c d$ 이다. 그런데 $c^{2} : c d = c : d$ 이다. 그러므로 $a : b = c : d$ 이다.

그런데 $a^{2}$ , $b^{2}$ 만이 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 $c^{2}$ , $d^{2}$ 만이 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11]

$c$ 가 네제곱근 평균이니 $d$ 도 네제곱근 평균이다. [X권 명제 23 따름명제]

$a : b = c : d$ 이고 $a^{2}$ 은 $b^{2}$ 과 $a$ 와 같은 단위로 측정할 수 있는 수의 제곱의 합과 같으므로 $c^{2}$ 도 $d^{2}$ 과 $c$ 와 같은 단위로 측정할 수 있는 수의 제곱의 합과 같다. [X권 명제 14]

그러므로 네제곱근 평균인 두 선분 $c$ , $d$ 는 같은 단위로 측정할 수 없고, $c^{2}$ , $d^{2}$ 은 같은 단위로 측정할 수 있으며 또한 ${(c d)}^{2}$ 는 유리수이고 $c^{2}$ 은 $d^{2}$ 과 $c$ 와 같은 단위로 측정할 수 있는 수의 제곱의 합과 같다.

비슷한 방법으로 $c^{2}$ 은 $d^{2}$ 과 $c$ 와 같은 단위로 측정할 수 없는 수의 제곱의 합과 같게 할 수도 있다. $a^{2}$ 은 $b^{2}$ 과 $a$ 와 같은 단위로 측정할 수 없는 수의 제곱의 합과 같다. [X권 명제 30]

그러므로 길이가 네제곱근 평균인 두 선분으로 이들 길이가 한 변인 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 이 두 선분이 두 변인 직사각형 넓이는 유리수이며, 긴 선분이 한 변인 정사각형 넓이는 짧은 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 긴 선분의 길이와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 같은 두 선분이 존재한다.

Q.E.D.

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