X 권
명제
길이가 네제곱근 평균인 두 선분으로 이들 길이가 한 변인 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 이 두 선분이 두 변인 직사각형 넓이의 제곱은 유리수이며, 긴 선분이 한 변인 정사각형 넓이는 짧은 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 긴 선분의 길이와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 같은 두 선분이 존재한다.
\(a>b\)이며 길이가 네제곱근 평균인 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \(a^2\), \(b^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있으며 또한 \(\left(ab\right)^2\)는 유리수이고 \(a^2\)은 \(b^2\)과 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 수의 제곱의 합과 같은 수 \(a\), \(b\)가 존재한다.
\(a>b\)이며 길이가 네제곱근 평균인 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \(a^2\), \(b^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있으며 \(a^2\)은 \(b^2\)과 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 수의 제곱의 합과 같은 수 \(a\), \(b\)가 존재함을 보여야 한다.
\(a>b\)인 길이 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없고 \(a^2\), \(b^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있으며 \(a^2\)은 \(b^2\)과 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 수의 제곱의 합과 같도록 잡자. [X권 명제 29]
\(c^2=ab\)이 되도록 \(c\)를 잡자. \(ab\)는 네제곱근 평균이므로 [X권 명제 21], \(c^4\)도 유리수이다. [X권 명제 21] 그러므로 \(c\)도 네제곱근 평균이다.
\(cd=b^2\)을 만족하는 \(d\)가 존재한다. \(b^4\)은 유리수이므로, \(\left(cd\right)^2\)도 유리수이다.
\(a:b=ab:b^2\)이고 \(c^2=ab\), \(cd=b^2\)이므로 \(a:b=c^2:cd\)이다. 그런데 \(c^2:cd=c:d\)이다. 그러므로 \(a:b=c:d\)이다.
그런데 \(a^2\), \(b^2\)만이 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(c^2\), \(d^2\)만이 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11]
\(c\)가 네제곱근 평균이니 \(d\)도 네제곱근 평균이다. [X권 명제 23 따름명제]
\(a:b=c:d\)이고 \(a^2\)은 \(b^2\)과 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 수의 제곱의 합과 같으므로 \(c^2\)도 \(d^2\)과 \(c\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 수의 제곱의 합과 같다. [X권 명제 14]
그러므로 네제곱근 평균인 두 선분 \(c\), \(d\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \(c^2\), \(d^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있으며 또한 \(\left(cd\right)^2\)는 유리수이고 \(c^2\)은 \(d^2\)과 \(c\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 수의 제곱의 합과 같다.
비슷한 방법으로 \(c^2\)은 \(d^2\)과 \(c\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 수의 제곱의 합과 같게 할 수도 있다. \(a^2\)은 \(b^2\)과 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 수의 제곱의 합과 같다. [X권 명제 30]
그러므로 길이가 네제곱근 평균인 두 선분으로 이들 길이가 한 변인 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 이 두 선분이 두 변인 직사각형 넓이는 유리수이며, 긴 선분이 한 변인 정사각형 넓이는 짧은 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 긴 선분의 길이와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 같은 두 선분이 존재한다.
Q.E.D.
예로는 \(a=3\sqrt2\sqrt[4]{3}\), \(b=3\sqrt[4]{3}\), \(c=3\sqrt[4]{6}\), \(d=\frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt[4]{3}\)이다.
이 명제는 [X권 명제 34], [X권 명제 35]에서 사용된다.