X 권
명제
네제곱근 평균인 두 넓이를 더한 것의 변은 단 한 점에서만 자를 수 있다.
선분 \(\rm AB\)에서 한 점 \(\rm C\)를 잡아 잘라다. 잘라진 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)는 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 네제곱근 평균이며, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이며, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)과 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 선분 \(\rm AB\)는 점 \(\rm C\) 이외의 점을 잡아 잘려진 두 선분으로 위 조건을 만족하지 못한다.
선분 \(\rm AB\)에서 한 점 \(\rm C\)를 잡아 잘라다. 잘라진 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)는 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 네제곱근 평균이며, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이며, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)과 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 선분 \(\rm AB\)는 점 \(\rm C\) 이외의 점 \(\rm D\)을 잡아 잘려진 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm DB\)로 위 조건을 만족하지 못함을 보여야 한다.
선분 \(\rm AB\)는 점 \(\rm C\) 이외의 점 \(\rm D\)을 잡아 잘려진 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm DB\)로 위 조건을 만족한다고 하자. 그러면\(\overline{\rm AC}\ne\overline{\rm BD}\)이며 \(\overline{\rm AC}>\overline{\rm BD}\)이라고 하자.
\(\overline{\rm EF}\)가 유리수인 선분 \(\rm EF\)을 잡자. (직사각형 \(\rm EFGH\) 넓이)\(={\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)이 되도록 직사각형 \(\rm EFGH\)를 작도하자. \(직사각형 \(\rm HGKN\) 넓이\)\(=2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)인 직사각형 \(\rm HGKN\)을 작도하자. 그러면 (직사각형 \(\rm EFKN\) 넓이)\(={\overline{\rm AB}}^2\)이다. [II권 명제 4]
(직사각형 \(\rm EFLM\) 넓이)\(={\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)가 되도록 직사각형 \(\rm EFLM\)를 작도하자. 그러면 (직사각형 \(\rm MLKN\) 넓이)\(=2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)이다.
그런데 가정에 의해서 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)는 네제곱근 평균이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm EFGH\) 넓이)도 네제곱근 평균이다. 그런데 직사각형 \(\rm EFGH\)의 한 변인 \(\overline{\rm EF}\)는 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm HE}\)는 유리수이고 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22] 같은 이유로, \(\overline{\rm HN}\)는 유리수이고 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다.
\({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)와 \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)은 같은 단위로 측정할 수 없으므로, (직사각형 \(\rm EFGH\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm HGKN\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 따라서 \(\overline{\rm EH}\)와 \(\overline{\rm HN}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [VI권 명제 1, X권 명제 11]
그리고 \(\overline{\rm EH}\)와 \(\overline{\rm HN}\)은 \({\overline{\rm EH}}^2\)와 \({\overline{\rm HN}}^2\)이 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm EN}\)은 이항 선분이며, 점 \(\rm H\)가 선분 \(\rm EN\)을 잘랐다. [X권 명제 35]
같은 방법으로 점 \(\rm M\)이 선분 \(\rm EN\)을 자름을 보일 수 있다.
그러므로 이항 선분을 서로 다른 두 점에서 잘랐다. 이것은 불가능하다. [X권 명제 42] 그러므로 네제곱근 평균인 두 넓이를 더한 변은 다른 점에서 자를 수 없으며 단 한 점에서만 자를 수 있다.
이 명제는 이후 더 이상 사용되지 않는다.