X 권
명제
명제 54
길이가 유리수인 선분과 첫 번째 이항 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 무리수이며 이항 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AB\)와 첫 번째 이항 선분 \(\rm AD\)을 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 무리수이며 이항 선분이다.
X 권
명제
길이가 유리수인 선분과 첫 번째 이항 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 무리수이며 이항 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AB\)와 첫 번째 이항 선분 \(\rm AD\)을 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 무리수이며 이항 선분이다.
길이가 유리수인 주어진 선분 \(\rm AB\)와 첫 번째 이항 선분 \(\rm AD\)을 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 무리수이며 이항 선분임을 보이자.
\(\rm AD\)는 첫 번째 이상 선분인데, 점 \(\rm E\)는 선분 \(\rm AD\)를 자르고 \(\overline{\rm AE}>\overline{\rm ED}\)이라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm ED}\)는 유리수이며, 단지 \({\overline{\rm AE}}^2\), \({\overline{\rm ED}}^2\) 만이 같은 단위로 측정할 수 있고, \({\overline{\rm AE}}^2\)는 \({\overline{\rm ED}}^2\)와 \(\overline{\rm AE}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합과 같으며, \(\overline{\rm AE}\)는 주어진 길이가 유리수인 \(\overline{\rm AB}\)과 같은 단위로 측정할 수 있다는 것은 자명하다. [X권 정의 II 1]
선분 \(\rm ED\)의 중점을 \(\rm F\)라 하자. \({\overline{\rm AE}}^2\)는 \({\overline{\rm ED}}^2\)와 \(\overline{\rm AE}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합이므로, 긴 선분 \(\rm AE\) 위에 짧은 선분 \(\rm EF\)의 절반의 길이를 한 변으로 한 정사각형 넓이 \(\frac{1}{4}{\overline{\rm ED}}^2={\overline{\rm EF}}^2\)과 같은 넓이를 갖는 직사각형을 작도하자. 그 직사각형이 정사각형을 뺀 모양이라면, \(\overline{\rm AE}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 두 선분으로 나누어진다. [X권 명제 17]
\(\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GE}={\overline{\rm EF}}^2\)이고 두 선분 \(\rm AG\), \(\rm GE\)가 두 변인 직사각형이 선분 \(\rm AE\)를 한 변으로 한다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm AG}\)와 \(\overline{\rm GE}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
세 점 \(\rm G\), \(\rm E\), \(\rm F\)에서 선분 \(\rm AB\) 또는 \(\rm CD\)에 평행하도록 선분 \(\rm GH\), \(\rm EK\), \(\rm FL\)을 그리자.
(직사각형 \(\rm ABHG\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm SPNM\) 넓이)이 되도록 정사각형 \(\rm SPNM\)을 작도하자. 그리고 (직사각형 \(\rm GHKE\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm NOQR\) 넓이)이 되도록 정사각형 \(\rm NOQR\)을 작도하자. [II권 명제 14] 그러면 두 선분 \(\rm RN\), \(\rm NP\)도 하나의 선분이 된다. 평행사변형 \(\rm SJQI\)를 작도하자. 그러면 \(\rm SJQI\)는 정사각형이 된다. [보조명제]
\(\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GE}={\overline{\rm EF}}^2\)이고, \(\overline{\rm AG}:\overline{\rm EF}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm GE}\)이다. [VI권 명제 17] 그러므로 (직사각형 \(\rm ABHG\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm EKLF\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm EKLF\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm GHKE\) 넓이)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 (직사각형 \(\rm EKLF\) 넓이)\({}^2=\)(직사각형 \(\rm ABHG\) 넓이)\(\cdot\)(직사각형 \(\rm GHKE\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm GHKE\) 넓이)는 (직사각형 \(\rm ABHG\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm GHKE\) 넓이)의 비례 중항이다.
그런데 (직사각형 \(\rm ABHG\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm SPNM\) 넓이)이고, (직사가각형 \(\rm GHKE\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm NOQR\) 넓이)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm EKLF\) 넓이)\({}^2=\)(정사각형 \(\rm SPNM\) 넓이)\(\cdot\)(정사각형 \(\rm NOQR\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm EKLF\) 넓이)는 (정사각형 \(\rm SPNM\) 넓이)와 (정사각형 \(\rm NOQR\) 넓이)의 비례 중항이다. 또한 (직사각형 \(\rm MNRI\) 넓이)도 (정사각형 \(\rm SPNM\) 넓이)와 (정사각형 \(\rm NOQR\) 넓이)의 비례 중항이다. [보조명제] 그러므로 (직사각형 \(\rm EKLF\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm MNRI\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm PJON\) 넓이)이다.
그런데 (직사각형 \(\rm ABHG\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm SPNM\) 넓이)이고, (직사각형 \(\rm GHKE\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm NOQR\) 넓이)이다. 즉, (직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm SJQI\) 넓이)\(={\overline{\rm MO}}^2\)이다. 그러므로 선분 \(\rm MO\)는 (직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)과 같은 넓이를 갖는 정사각형의 한 변이다.
\(\overline{\rm MO}\)가 이항 선분임을 보이자.
\(\overline{\rm AG}\)와 \(\rm GE\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로, \(\overline{\rm AE}\)는 \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GE}\)와 각각 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 15]
그런데 \(\overline{\rm AE}\)는 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GE}\)도 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 12]
그런데 \(\overline{\rm AB}\)는 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GE}\)도 유리수이다. (직사각형 \(\rm ABHG\) 넓이), (직사각형 \(\rm GHKE\) 넓이) 모두 유리수이다. [X권 명제 19] 그리고 (직사각형 \(\rm ABHG\) 넓이), (직사각형 \(\rm GHKE\) 넓이)은 같은 단위로 측정할 수 있다.
그런데 (직사각형 \(\rm ABHG\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm SPNM\) 넓이)이고, (직사각형 \(\rm GHKE\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm NOQR\) 넓이)이다. 따라서 (정사각형 \(\rm SPNM\) 넓이)와 (정사각형 \(\rm NOQR\) 넓이)은 같은 단위로 측정할 수 있다. 즉, \({\overline{\rm MN}}^2\), \({\overline{\rm NO}}^2\)는 유리수며 같은 단위로 측정할 수 있다.
그리고 \(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm ED}\)는 같은 단위로 측정 할 수 없고, \(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm AG}\)는 같은 단위로 측정 할 수 있고, \(\overline{\rm ED}\)와 \(\overline{\rm EF}\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm AG}\)와 \(\overline{\rm EF}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13] 그러므로 (직사각형 \(\rm ABHG\) 넓이)과 (직사각형 \(\rm EKLF\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [VI권 명제 1, X권 명제 11]
그런데 (직사각형 \(\rm ABHG\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm SPNM\) 넓이)이고 (직사각형 \(\rm EKLF\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm MNRI\) 넓이)이다. 그리고 (정사각형 \(\rm SPNM\) 넓이)\(:\)(정사각형 \(\rm MNRI\) 넓이)\(=\overline{\rm PN}:\overline{\rm NR}\)이다. [VI권 명제 1] 그리고 \(\overline{\rm PN}\)과 \(\overline{\rm NR}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
그런데 \(\overline{\rm PN}=\overline{\rm MN}\)이고, \(\overline{\rm NR}=\overline{\rm NO}\)이다. 그리고 \({\overline{\rm MN}}^2\), \({\overline{\rm NO}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
그러므로 \(\overline{\rm MN}\), \(\overline{\rm NO}\) 모두 유리수이며, 단 \({\overline{\rm MN}}^2\), \({\overline{\rm NO}}^2\) 만이 같은 단위로 측정할 수 있다.
그러므로 \(\overline{\rm MO}\)는 이항 선분이며 [X권 명제 36], (직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)와 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이이다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 71]에서 사용되었다.
이것을 대수적으로 표현을 하면 다음과 같다. \(k\)는 정수, \(\rho\)는 유리수, \(\lambda\)는 \(0<\lambda< 1\)인 유리수에 대하여 다음과 같다.
\(\overline{\rm AB}=\rho\)
\(\overline{\rm AD}=k\rho+k\rho\sqrt{1-{\lambda}^2}\)
\(\overline{\rm AE}=k\rho\), \(\overline{\rm ED}=k\rho\sqrt{1-{\lambda}^2}\)
\(\overline{\rm AG}=\rho\sqrt{\frac{k}{2}(1+\lambda)}\), \(\overline{\rm GE}=\rho\sqrt{\frac{k}{2}(1-\lambda)}\)
\(\overline{\rm OM}=\sqrt{\rho\left(k\rho +k\rho \sqrt{1-{\lambda}^2}\right)}\)