애플릿

---

---

증명

---

길이가 네제곱근 평균인 선분 \(\rm AB\)에서 길이가 네제곱근 평균인 선분 \(\rm BC\)를 뺏다. \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 단지 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 \({\overline{\rm BC}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그리고 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 유리수라 하자. 그러면 남은 선분 길이 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수임을 보이자. 이 선분을 ‘네제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분’이라 하자.

\(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 네제곱근 평균이므로 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 네제곱근 평균이다. 그런데 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 유리수이다.

그러므로 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AC}}^2\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [II권 명제 7] 왜냐하면 전체를 한 양과 같은 단위로 측정할 수 없으면 원래 두 양들도 같은 단위로 측정할 수 없기 때문이다. [X권 명제 16]

그런데 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 유리수이다. 그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2\)는 무리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수이다. [X권 정의 4] 선분 \(\overline{\rm AC}\)를 ‘네제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분’이라 하자.

Q.E.D.

부연설명

---

이 명제는 [X권]의 남은 명제들에서 [X권 명제 81]을 시작으로 가끔씩 사용된다.

이 명제를 대수적으로 나타내면 \(\rho\sqrt[4]{k^3}-\rho\sqrt[4]{k}\)