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증명
유리수와 네제곱근 평균을 더한 길이인 선분 \(\rm AB\)에 선분 \(\rm CB\)를 이어 붙였다고 하자. 그래서 \(\overline{\rm AB}\)와
\(\overline{\rm CB}\)는 \({\overline{\rm AC}}^2\)와 \({\overline{\rm CB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm
AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)는 네제곱근 평균이며 \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 유리수라 하자. [X권
명제 77] 그러면 선분 \(\rm AB\)에 이어 붙여서 위 조건을 만족하는 선분은 \(\rm CB\) 뿐임을 보이자.
유리수와 네제곱근 평균을 더한 길이인 선분 \(\rm AB\)에 선분 \(\rm BD\)를 이어 붙여 위 조건을 만족하는 다른 선분 \(\rm BD\)가
있다고 하자. 그래서 \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BD}\)는 \({\overline{\rm AD}}^2\)와 \({\overline{\rm DB}}^2\)는
같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm CDB}}^2\)는 네제곱근 평균이며 \(2\cdot\overline{\rm
AD}\cdot\overline{\rm DB}\)는 유리수라 하자. [X권 명제 77]
앞에서 같은 방법으로, \(\left({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\right)-\left({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm
CB}}^2\right)=\left(2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\right)-\left(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm
CB}\right)\)이다.
그런데 \(\left({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\right)-\left({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm
CB}}^2\right)\)는 유리수이다. 왜냐하면 \(\left({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\right)\), \(\left({\overline{\rm
AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\right)\)은 유리수이기 때문이다.
그러므로 \(\left(2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\right)-\left(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm
CB}\right)\)도 유리수이다. 그러나 이것은 불가능하다. 왜냐하면 \(\left(2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm
DB}\right)\), \(\left(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\right)\) 둘 다 네제곱근 평균이기 때문이다. [X권 명제 26]
그러므로 선분 \(\rm AB\)에 이어 붙여서 붙인 선분과 전체 선분들로 각각 변인 정사각형 넓이는 같은 단위로 측정할 수 없고 두
정사각형의 넓이는 네제곱근 평균이며 이 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이의 두 배는 넓이가 유리수가 되는 것은 단 하나
뿐이다.
Q.E.D.
