애플릿

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증명

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두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)의 길이 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)에 대하여, \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 네제곱근 평균이고, \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 유리수라하자. [X권 명제 34] 그러면 \(\overline{\rm AC}\)(\(=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\))는 무리수임을 보이자.

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\({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 네제곱근 평균이며, \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 유리수이므로, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)과 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2\)와 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 16]

그런데 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)은 유리수이다. 그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2\)는 무리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수이다. [X권 정의 4]

이것을 유리수인 넓이와 네제곱근 평균 넓이를 더한 것의 변이라 한다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 [X권 명제 46], [X권 명제 58], [X권 명제 64], [X권 명제 69]에서 사용된다.