명제 1

주어진 선분으로 정삼각형을 작도하시오.

주어진 선분 \(\rm AB\)로 정삼각형을 작도하시오.

명제 2

주어진 한 점과 유한한 길이의 선분에 대하여, 한 끝 점이 주어진 점이고 길이가 주어진 선분의 길이와 같은 선분을 그리시오.

주어진 점\(\rm A\)와 선분 \(\rm BC\)에 대하여, 점 \(\rm A\)를 한 끝 점으로 하고 길이가 \(\overline{\rm BC}\)인 선분을 그리시오.

명제 3

주어진 길이가 다른 두 선분에 대하여, 짧은 선분의 길이와 같은 선분을 긴 선분에서 잘라낼 수 있다.

주어진 두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)에 대하여, \(\overline{\rm AB} > \overline{\rm CD}\)이면 선분 \(\rm AB\)에서 선분 \(\rm CD\) 길이 만큼의 선분을 잘라 낼 수 있다.

명제 4

주어진 두 삼각형의 두 변의 길이가 각각 같고, 그 두 변의 끼인각 크기가 각각 같으면 두 삼각형은 합동이다. 따라서 나머지 두 각의 크기도 각각 같고, 나머지 한 변의 길이도 같다. 다시 말하면 합동이면 나머지 대응하는 변의 길이와 대응하는 각의 크기가 각각 같다.

주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)에서 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm EF}\)이고 \(\rm\angle BAC=\angle EDF\)이면 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)은 합동이다. 따라서 나머지 변들과 각들도 같다. 즉, \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\)이고 \(\rm\angle CBA=\angle FED\), \(\rm\angle ACB=\angle DFE\)이다.

명제 5

이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같다. 그리고 길이가 같은 두 변을 길게 늘였을 때 밑변 아래에 생기는 두 외각의 크기도 서로 같다.

\(\overline{\rm AB}= \overline{\rm AC}\)인 이등변삼각형 \(\rm ABC\)의 두 밑각인 각 \(\rm ABC\)와 각 \(\rm ACB\)은 \(\rm\angle ABC=\angle ACB\)이다. 또한 길이가 같은 두 변 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 길게 늘였을 때 밑변 아래에 생기는 두 외각인 각 \(\rm FBC\), 각 \(\rm GCB\)도 \(\rm\angle GBC=\angle GCB\)이다..

명제 6

삼각형에서 두 밑각의 크기가 같으면 그 각들과 마주보는 두 변의 길이는 같다.

삼각형 \(\rm ABC\)에서 두 밑각 \(\rm ABC\)와 \(\rm ACB\)의 크기가 같으면, 각각의 각들이 마주보고 있는 대변인 두 선분 \(\rm AC\)와 \(\rm AB\)의 길이가 같다. 즉, 삼각형 \(\rm ABC\)에서 두 밑각 \(\rm ABC\)와 \(\rm ACB\)의 크기가 같으면 두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm AC\)의 크기가 같은 이등변삼각형이다.

명제 7

주어진 선분의 양 끝점에서 같은 방향으로 각각 선분을 그어 만나는 교점과 주어진 선분의 양 끝점으로 이루어진 삼각형을 작도 하면, 주어진 선분의 양 끝 점에서 그은 두 선분과 같은 방향으로 두 선분의 길이와 같은 선분을 그어 처음 교점과 다른 점에서 만나는 삼각형을 작도 할 수 없다.

주어진 선분 \(\rm AB\)의 양 끝점인 두 점 \(\rm A\), \(\rm B\)에서 같은 방향으로 각각 선분을 그어 삼각형 \(\rm ABC\)를 작도하면, 두 선분 \(\rm CA\), \(\rm CB\)의 길이가 각각 두 선분 \(\rm DA\), \(\rm DB\)의 길이와 같으며, 점 \(\rm C\)와 다른 같은 방향에 있는 점 \(\rm D\)를 잡아서 삼각형 \(\rm ABC\)와 다른 삼각형 \(\rm ABD\)를 작도 할 수 없다.

명제 8

주어진 두 삼각형에서, 세 변의 길이가 같으면 대응하는 각(내각)들도 각각 같다.

주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)에서 두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm AC\)의 길이가 두 선분 \(\rm DE\)와 \(\rm DF\)의 길이와 각각 같고 밑변인 나머지 두 선분 \(\rm BC\)와 \(\rm EF\)의 길이도 같으면, 두 각 \(\rm BAC\)와 \(\rm EDF\)의 크기는 같다.

명제 9

주어진 각을 이등분 할 수 있다.

주어진 각 \(\rm BAC\)를 이등분 할 수 있다.

명제 10

주어진 선분을 이등분 할 수 있다.

주어진 선분 \(\rm AB\)를 이등분 할 수 있다.

명제 11

주어진 선분과 선분 위의 한 점을 지나고 선분에 수직인 선분을 그을 수 있다.

주어진 선분 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm C\)를 지나면서 직선 \(\rm AB\)에 수직인 선분을 그을 수 있다.

명제 12

주어진 직선과 직선 위에 있지 않은 임의의 한 점에서 직선에 수직선을 그을 수 있다.

직선 \(\rm AB\)와 직선 \(\rm AB\) 위에 있지 않은 점 \(\rm C\)가 있다고 하자. 점 \(\rm C\)를 지나면서 직선 \(\rm AB\)에 수직인 직선(수직선)을 그을 수 있다.

명제 13

주어진 선분에 선분 위에 한 점을 한 끝 점으로 하는 다른 선분을 그리면 두 개의 각이 만들어 지는데 이 두 개의 각의 합은 \(180^{\circ}\)이다.

주어진 선분 \(\rm CD\) 위에 점 \(\rm B\)가 있고 선분 \(\rm CD\) 위에 있지 않은 점 \(\rm A\)에 대하여, 선분 \(\rm AB\)와 선분 \(\rm CD\)에 의해서 만들어지는 각 \(\rm ABC\)와 각 \(\rm ABD\)는 각각 \(90^{\circ}\)이거나 합은 \(180^{\circ}\)이다.

명제 14

주어진 선분 위의 한 끝점에서 두 선분을 서로 다른 방향으로 그리면 그들이 만드는 두 개의 이웃한 각의 합이 두 개의 직각과 같다. 즉, 두 선분은 한 직선에 놓인다.

주어진 직선 \(\rm AB\)에 같은 영역에 있지 않은 두 점 \(\rm C\), \(\rm D\)에 대하여, 직선 \(\rm AB\) 위의 한 점 \(\rm B\)에서 같은 쪽으로 있지 않은 두 직선 \(\rm BC\), \(\rm BD\)가 주어진 직선 \(\rm AB\)과 이루는 각의 합이 \(180^{\circ}\)라면 두 직선 \(\rm BC\), \(\rm BD\)는 일직선 상에 있다.

명제 15

두 직선이 만나 만들어지는 맞꼭지각들은 크기가 서로 같다.

두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 점 \(\rm E\)에서 만나 만들어지는 맞꼭지각 \(\rm DEA\)와 \(\rm CEB\)의 크기가 같고 맞꼭지각 \(\rm AEC\)와 \(\rm BED\)의 크기도 같다.

따름 명제 15

두 직선이 만나서 만들어지는 네 각의 크기를 모두 더한 것은 네 개의 직각을 더한 것과 같다.

두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 점 \(\rm E\)에서 만나 만들어지는 네 각 \(\rm DEA\), \(\rm CEB\), \(\rm AEC\),\(\rm BED\)의 크기의 모든 합은 \(360^{\circ}\)이다.

명제 16

주어진 삼각형의 한 변의 한 쪽을 연장하여 만들어진 외각은 맞은편 두 내각보다 크다.

주어진 삼각형 \(\rm ABC\)의 반직선 \(\rm BC\) 위의 점이면서 선분 \(\rm BC\)의 밖의 점을 점 \(\rm E\)라고 하면, 외각 \(\rm ACD\)은 맞은편에 있는 두 내각 \(\rm CBA\)와 \(\rm BAC\)보다 크다.

명제 17

삼각형에서 어떤 두 내각을 더해도 \(180^{\circ}\) 보다 작다.

삼각형 \(\rm ABC\)에서 어떤 두 내각의 합은 \(180^{\circ}\)보다 작다.

명제 18

주어진 삼각형에서 더 긴 변의 마주 보는 대각의 크기도 크다.

주어진 삼각형 \(\rm ABC\)에서 변 \(\rm AC\)의 길이가 변 \(\rm AB\) 보다 길면, 변 \(\rm AC\)의 대각인 각 \(\rm ABC\)가 변 \(\rm AB\)의 대각인 각 \(\rm BCA\) 보다 크다.

명제 19

주어진 삼각형에서 더 큰 각과 마주 보는 대변의 길이가 더 길다.

주어진 삼각형 \(\rm ABC\)에서 각 \(\rm ABC\)가 각 \(\rm BCA\) 보다 크면, 각 \(\rm ABC\)의 대변 \(\rm AC\)가 각 \(\rm BCA\)의 대변 \(\rm AB\)보다 크다.

명제 20

주어진 삼각형에서 두 변을 더한 길이는 나머지 한 변의 길이 보다 더 길다.

주어진 삼각형 \(\rm ABC\)에서 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크다.

명제 21

주어진 삼각형의 한 변의 양 끝점에서 삼각형 내부의 한 점에 만나도록 두 선분을 그리면, 이 두 선분의 길이의 합은 삼각형의 나머지 두 변의 길이의 합보다 짧고, 두 선분에 의해 만들어진 각은 삼각형 두 변이 이루는 각보다 크다.

주어진 삼각형 \(\rm ABC\)의 변 \(\rm BC\)의 끝점 \(\rm B\), \(\rm C\)와 삼각형 내부 점 \(\rm D\)를 그은 두 선분 \(\rm DB\)와 \(\rm DC\)를 그리면, 두 변 \(\rm BD\)와 \(\rm DC\)의 길이의 합이 두 변 \(\rm BA\)와 \(\rm AC\)의 길이의 합 보다 작고 각 \(\rm DBC\)의 크기가 각 \(\rm BAC\)의 크기보다 크다.

명제 22

주어진 세 선분에 대하여 두 선분의 길이의 합이 나머지 한 선분의 길이보다 길 때, 이와 같은 길이를 변으로 하는 삼각형을 작도 할 수 있다.

주어진 세 개의 선분 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)가 두 변의 길이의 합이 나머지 길이 보다 크면, 즉 \(a+b>c\), \(b+c>a\), \(c+a>b\)이면 세 변의 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)인 삼각형을 작도 할 수 있다.

명제 23

주어진 각과 같은 크기의 각을 주어진 직선 위의 한 점에서 작도 할 수 있다.

주어진 각 \(\rm CDE\)의 크기와 같은 각을 선분 \(\rm AB\)의 한 점 \(\rm A\)에서 작도 할 수 있다.

명제 24

주어진 두 삼각형에서 두 변의 길이가 각각 같지만 두 변이 이루는 각의 크기가 다르다고 할 때, 각의 크기가 크면 나머지 한 변의 길이가 더 길다.

주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\) 각각 두 변이 \(\rm AB\), \(\rm AC\)가 \(\rm DE\), \(\rm DF\)의 길이가 같고(즉, 변 \(\rm AB\)와 \(\rm DE\)변 의 길이가 같고 변 \(\rm AC\)와 변\(\rm DF\)의 길이가 같다.), 각 \(\rm A\)가 각 \(\rm D\)보다 크면, 변 \(\rm BC\)의 길이가 변 \(\rm EF\)의 길이보다 크다.

명제 25

주어진 두 삼각형에서, 두 변의 길이가 각각 같고, 밑변의 길이가 다르면, 두 변이 만드는 각들 중에서 긴 밑변과 마주 보는 대각이 더 크다.

주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)에 대하여, 두 변 \(\rm AB\)와 \(\rm DE\)의 길이가 같고, 두 변 \(\rm AC\)와 \(\rm DF\)의 길이도 같으며 변 \(\rm BC\)의 길이가 변 \(\rm EF\)의 길이보다 길면 각 \(\rm BAC\)의 크기는 각 \(\rm EDF\)의 크기보다 크다.

명제 26

주어진 두 삼각형에서, 두 각의 크기가 두 각의 크기와 각각 같고 한 변의 길이가 한 변의 길이와 같으면, 즉, 크기가 서로 같은 각 사이에 놓이는 변의 길이가 같거나 또는 같은 크기의 각과 마주 보는 변의 길이가 같으면 나머지 변들도 나머지 변들의 길이와 각각 같고, 나머지 각도 나머지 각의 크기가 같다.

주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)에 대하여 두 각\(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)가 같고, 두 각 \(\rm ACB\)와 \(\rm DFE\)가 같고, (1) 서로 크기가 같은 각 사이에 놓인 변의 길이가 서로 같을 때, 즉, 두 변 \(\rm BC\)와 \(\rm EF\)의 길이가 같은 때, 또는 (2) 같은 크기의 각과 마주 보는 변의 길이가 같을 때, 즉 두 변 \(\rm AB\)와 \(\rm DE\)의 길이가 같거나 두 변 \(\rm AC\)와 \(\rm DF\)의 길이가 같으면, 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)는 합동이다. 그러므로 나머지 두 변의 길이와 나머지 한 각의 크기가 각각 같다.

명제 27

주어진 두 직선에 어떤 직선이 만나도록 그려서 만들어진 두 엇각이 같으면 주어진 두 직선은 평행하다.

주어진 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)와 한 직선 \(l\)이 각각 만나는 교점 \(\rm E\), \(\rm F\)에서 엇각 \(\rm AEF\)와 \(\rm EFD\)(또는 엇각 \(\rm BEF\)와 \(\rm CFE\))의 크기가 같으면, 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 평행이다.

명제 28

주어진 두 직선과 어떤 직선이 만나도록 그려서 외각이 같은 방향에 있는 다른 내각과 크기가 같거나 또는 같은 방향에 있는 두 내각의 합이 이면 주어진 두 직선은 서로 평행하다.

주어진 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 한 직선 \(\rm EF\)와 각각 \(\rm G\), \(\rm F\)에서 만나고 (1) 한 외각 \(\rm EGB\)과 동위각 \(\rm GHD\)이 같거나, (2) 동측내각 \(\rm BGH\)와 \(\rm GHD\)의 합이 \(180^\circ\)이면 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 평행하다.

명제 29

평행한 두 직선과 교점이 생기도록 어떤 직선을 그리면, 엇각의 크기는 서로 같고, 동위각의 크기도 서로 같고, 같은 방향에 있는 두 내각의 합은 직각의 두 배이다.

한 평면 위에 있는 평행한 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 직선 \(\rm EF\)와 각각 점 \(\rm G\), \(\rm H\)에서 만나면, (1) 엇각인 각 \(\rm AGH\)와 각 \(\rm GHD\)의 크기는 서로 같고, (2) 동위각인 각 \(\rm EGB\)와 각 \(\rm GHD\)의 크기는 서로 같고, (3) 같은 방향에 있는 두 내각(동측내각)인 각 \(\rm BGH\)와 각 \(\rm GHD\)의 합은 \(180^\circ\)이다.

명제 30

주어진 한 직선에 대하여, 두 직선이 각각 한 직선과 평행다면 두 직선은 서로 평행하다.

주어진 한 평면 위에 존재하는 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\), \(\rm EF\)에 대하여, 직선 \(\rm AB\)와 직선 \(\rm EF\)가 평행하고 직선 \(\rm EF\)와 직선 \(\rm CD\)가 평행하면, 직선 \(\rm AB\)와 직선 \(\rm CD\)는 평행하다.

명제 31

주어진 한 점과 직선에 대하여, 그 점을 지나고 주어진 직선과 평행한 직선을 그릴 수 있다.

주어진 점 \(\rm A\)와 그 점을 지나지 않는 직선 \(\rm BC\)에 대하여, 점 \(\rm A\)를 지나고 직선 \(\rm BC\)와 평행한 직선을 그릴 수 있다.

명제 32

주어진 삼각형의 한 변을 연장했을 때 생기는 외각의 크기는 다른 두 내각의 크기를 더한 것과 같다. 따라서 삼각형의 세 내각의 합은 \(180^\circ\)이다.

주어진 삼각형 \(\rm ABC\)에서 밑변 \(\rm BC\)를 연장하여 선분 \(\rm BD\)를 만들어지는 외각 \(\rm ACD\)의 크기는 삼각형의 두 내각인 각 \(\rm ABC\)와 각 \(\rm BAC\)의 합과 같다. 따라서 삼각형의 세 내각인 각 \(\rm ABC\), 각 \(\rm BCA\), 각 \(\rm CAB\)의 크기의 합은 \(180^\circ\)이다. 따라서 삼각형 세 내각의 합은 \(180^\circ\)이다.

명제 33

주어진 두 변이 그 길이가 같고 평행하면, 이들 변의 양 끝 점을 동일한 방향에 있는 점들을 선분으로 그리면 이 선분들의 길이도 같고 평행하다.

주어진 두 변 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)가 그 길이가 같고 평행하면, 두 점 \(\rm A\)와 \(\rm C\), 두 점 \(\rm B\)와 \(\rm D\)를 이은 두 변 \(\rm AC\)와 \(\rm BD\)는 길이가 같고 평행하다.

명제 34

어떤 사각형이 서로 마주보는 변들끼리 설 평행하다고 하면, 마 보는 변들의 길이가 각각 같고, 마주보는 각들 또한 그 각의 크기가 각각 같고 또한 두 대각선은 각각 이 사각형의 넓이를 이등분 한다.

어떤 사각형 \(\rm ACDB\)를 평행사변형이라 하면, 평행사변형 \(\rm ACDB\)의 두 대각인 각 \(\rm CAB\)와 각 \(\rm BDC\) 그리고 각 \(\rm ACD\)와 각 \(\rm ABD\)가 각각 같고, 두 대변 변 \(\rm AB\)와 변 \(\rm CD\) 그리고 변 \(\rm AC\)와 변 \(\rm BD\)가 각각 같고 또한 두 대각선 \(\rm BC\), \(\rm AD\)가 각각 평행사변형 \(\rm ACDB\) 넓이를 이등분 한다.

명제 35

주어진 두 평행사변형의 밑변이 같고, 두 윗변이 같은 직선 위에 있으면 이 두 평행사변형의 넓이는 같다.

주어진 두 평행사변형 \(\rm ABCD\)와 \(\rm EBCF\)가 같은 밑변 \(\rm BC\)를 갖고 같은 평행선 선분 \(\rm AD\)와 \(\rm EF\)가 일직선 상에 있으면, 두 평행사변형 \(\rm ABCD\)와 \(\rm EBCF\)의 넓이는 같다.

명제 36

주어진 두 평행사변형이 같은 평행선들 사이에 놓여있으면, 이 두 평행사변형의 밑변의 길이가 같으면 넓이가 같다.

주어진 두 평행사변형 \(\rm ABCD\)과 \(\rm EFGH\)가 같은 평행선에 사이에 놓여 있고 밑변 \(\rm BC\)와 \(\rm FG\)가 일직선 상에 있으며, 두 선분 \(\rm BC\)와 \(\rm FG\)의 길이가 같으면 두 평행사변형 \(\rm ABCD\)과 \(\rm EFGH\)의 넓이가 같다.

명제 37

주어진 두 삼각형에 대하여, 두 삼각형은 밑변을 공유하고, 밑변과 꼭짓점이 동일한 평행선 상에 있는 두 삼각형은 넓이가 서로 같다.

주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DBC\)은 밑변 \(\rm BC\)를 공유하고 직선 \(\rm AD\)와 \(\rm BC\)가 평행하면 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DBC\)의 넓이가 같다.

명제 38

주어진 두 삼각형의 밑변의 길이가 같고, 밑변과 꼭짓점이 모두 동일한 평행선 상에 있으면 두 삼각형의 넓이가 서로 같다.

두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)의 각각 밑변 \(\rm BC\)와 \(\rm EF\)가 한 직선 위에 있고 길이가 같으며, 두 선분 \(\rm BF\)와 \(\rm AD\)가 평행하면 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)의 넓이는 같다.

명제 39

주어진 두 삼각형의 넓이가 같고 같은 영역에 있는 밑변이 공통이면, 밑변과 꼭짓점이 동일한 평행선 상에 있다.

주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DBC\)에서 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm DBC\) 넓이)이고 밑변이 선분 \(\rm BC\)로 공통이고 같은 방향으로 놓여 있으면, 두 선분 \(\rm AD\)와 \(\rm BC\)는 평행하다.

명제 40

주어진 두 삼각형의 두 밑변의 길이가 같고 일직선 상에 있으며, 같은 영역에 있는 넓이가 같으면, 두 삼각형의 꼭짓점이 동일한 평행선 상에 있다.

주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DCE\)에서 각각의 밑변인 변 \(\rm BC\)와 변 \(\rm CE\)가 한 직선 위에 있고 그 길이가 같고, 넓이가 같으면 두 삼각형의 각각의 꼭지점 \(\rm A\)와 \(\rm D\)가 한 직선 위에 있다.

명제 41

주어진 평행사변형의 넓이는 밑변을 공유하고 꼭짓점이 밑변과 마주보는 대변 위에 있는 삼각형의 넓이의 두 배이다.

삼각형 \(\rm EBC\)는 주어진 평행사변형 \(\rm ABCD\)의 선분 \(\rm BC\)를 밑변으로 하고 두 선분 \(\rm BC\)와 \(\rm AE\)가 평행하면 평행사변형 \(\rm ABCD\)의 넓이는 삼각형 \(\rm EBC\)의 넓이의 \(2\)배이다.

명제 42

주어진 삼각형과 주어진 각에 대하여, 한 내각이 주어진 각과 같고 삼각형 넓이와 같은 평행사변형을 작도 할 수 있다.

주어진 삼각형 \(\rm ABC\)와 각 \(\rm D\)에 대하여, 삼각형 \(\rm ABC\)의 넓이와 같고 각 \(\rm D\)를 가지는 평행사변형을 작도 할 수 있다.

명제 43

주어진 평행사변형 안에 대각선 위의 한 점을 지나며 모든 선분들이 주어진 평행사변형(대각선 평행사변형)과 평행한 두 평행사변형은 넓이가 같다. 이 두 평행사변형을 여(complements) 평행사변형이라고 한다.

주어진 평행사변형 \(\rm ABCD\)의 대각선 \(\rm AC\) 위의 한 점 \(\rm E\)를 지나고 선분 \(\rm AB\), \(\rm AD\)와 각각 평행한 두 직선이 평행사변형 \(\rm ABCD\)와 만나는 교점을 \(\rm E\), \(\rm F\), \(\rm G\), \(\rm H\)라 하면, 평행사변형 \(\rm FBGE\)와 평행사변형 \(\rm IEHE\)의 넓이는 같다. 두 평행사변형 \(\rm FBGE\), \(\rm IEHE\)을 여(complements) 평행사변형이라고 한다.

명제 44

주어진 선분, 두 반직선으로 만들어진 각, 삼각형에 대하여, 주어진 선분에 한 내각이 주어진 각과 같고 주어진 삼각형의 넓이와 같은 평행사변형을 작도할 수 있다.

주어진 선분 \(\rm AB\), 두 반직선으로 만들어진 각 \(\angle\rm D\), 삼각형 \(\rm PQR\)에 대하여, 선분 \(\rm AB\)를 한 변으로 하고 각 \(\angle\rm D\)를 가지며 삼각형 \(\rm PQR\)의 넓이와 같은 평행사변형을 작도 할 수 있다.

명제 45

주어진 다각형과 각에 대하여 그 다각형의 넓이와 같고 주어진 각과 같은 한 각으로 하는 평행사변형을 작도 할 수 있다.

주어진 \(n\)각형과 \(\angle\rm E\)에 대하여, 그 \(n\)각형과 같은 넓이를 가지고, \(\angle\rm E\)를 한 각으로 가지는 평행사변형을 작도할 수 있다. (\(n\)은 이상의 자연수)

명제 46

주어진 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 작도 할 수 있다.

주어진 선분 \(\rm AB\)로 정사각형을 작도 할 수 있다.

명제 47

주어진 직각삼각형에서 빗변으로 만든 정사각형의 넓이는 나머지 두 변으로 만든 정사각형의 넓이의 합과 같다.

각 \(\rm BAC\)가 직각인 주어진 직각삼각형 \(\rm ABC\)에서 변 \(\rm BC\)의 제곱은 변 \(\rm AB\) 제곱과 변 \(\rm AC\) 제곱의 합과 같다.

명제 48

주어진 삼각형의 한 변을 가지고 만든 정사각형의 넓이가 다른 두 변들을 가지고 만든 정사각형의 넓이를 더한 것과 같으면, 다른 두 변 사이에 있는 각이 직각이다.

주어진 삼각형 \(\rm ABC\)에서 변 \(\rm BC\)의 제곱이 변 \(\rm AB\) 제곱과 변 \(\rm AC\) 제곱의 합과 같으면 이 삼각형은 직각삼각형이다.