증명

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주어진 선분 \(\rm AB\), 두 반직선으로 만들어진 각 \(\angle\rm D\), 삼각형 \(\rm PQR\)이 있다.

그러면, 선분 \(\rm AB\)를 한 변으로 하고 각 \(\angle\rm D\)를 가지며 삼각형 \(\rm PQR\)의 넓이와 같은 평행사변형을 작도 할 수 있음을 보이자.

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주어진 선분 \(\rm AB\), 두 반직선으로 만들어진 각 \(\angle\rm D\), 삼각형 \(\rm PQR\)가 있다.

선분 \(\rm AB\)를 한 변으로 하고 각 \(\angle\rm D\)를 가지며 삼각형 \(\rm PQR\)의 넓이와 같은 평행사변형을 작도 할 수 있음을 보이자.

삼각형 \(\rm PQR\)의 넓이와 같고 \(\angle\rm EBG=\angle\rm E\)인 평행사변형 \(\rm BEFG\)를 작도하자. [I권 명제 42] 그리고 반직선 \(\rm AB\)의 연장선 위에 선분 \(\rm BE\)를 그리자.

점 \(\rm H\)를 지나는 선분 \(\rm FG\)를 그리고[I권 공리 2], 점 \(\rm A\)를 지나며 선분 \(\rm BG\) 또는 선분 \(\rm EF\)에 평행한 선분 \(\rm AH\)를 그리자. [I권 명제 31] 그리고 선분 \(\rm HB\)를 그리자. [I권 공리 1]

선분 \(\rm HF\)가 평행한 두 선분 \(\rm AH\), \(\rm EF\)와 교차하므로 \(\angle\rm AHF+\angle\rm HFE=180^\circ\)이다. [I권 명제 29] 따라서 \(\angle\rm BHG+\angle\rm GFE<180^\circ\)이다. 그리고 두 선분에 교점을 갖도록 한 선을 그어 만들어지는 동측내각이 \(180^\circ\)보다 작은 쪽에서 두 선분을 무한히 길게 늘였을 때 교점을 가지므로 두 선분 \(\rm HB\), \(\rm FE\)는 교점을 갖는다. [I권 공리 5]

그 교점을 \(\rm K\)이라고 하자. 점 \(\rm K\)를 지나며 선분 \(\rm EA\) 또는 선분 \(\rm FH\)에 평행한 선분 \(\rm KL\)을 그리자. [I권 명제 31] 그리고 두 직선 \(\rm HA\), \(\rm GB\)와 선분 \(\rm KL\)과의 교점을 각각 점 \(\rm L\)과 점 \(\rm M\)이라고 하자.

그러므로 사각형 \(\rm HLKF\)는 평행사변형이고 선분 \(\rm HK\)가 대각선이며 두 사각형 \(\rm AHGB\), \(\rm MBEK\)도 평행사변형이므로, 대각선 \(\rm HK\)에 대하여 두 평행사변형 \(\rm LABM\), \(\rm BGFE\)는 여 평행사변형이다. [I권 명제 43] 따라서 두 평행사변형 \(\rm LABM\), \(\rm BGFE\)의 넓이는

(평행사변형 \(\rm LABM\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm BGFE\) 넓이)

이다.

그런데 (평행사변형 \(\rm BGFE\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm PQR\) 넓이)이므로 (평행사변형 \(\rm LABM\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm PQR\) 넓이)

이다. [I권 일반상식 1]

\(\angle\rm GBE=\angle\rm D\)이고 두 각 \(\rm GBE\), \(\rm ABM\)은 맞꼭지각이므로 \(\angle\rm ABM=\angle\rm D\)이다. [I권 명제 15] 따라서 이다. [일반상식 2]

따라서 평행사변형 \(\rm LABM\)은 한 변이 \(\rm AB\)이고 한 각이 \(\angle\rm ABM=\angle\rm D\)이고 주어진 삼각형 \(\rm PQR\)의 넓이와 같다.

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그러므로 주어진 선분, 두 반직선으로 만들어진 각, 삼각형에 대하여, 주어진 선분에 한 내각이 주어진 각과 같고 주어진 삼각형의 넓이와 같은 평행사변형을 작도할 수 있다.

Q.E.D.