I 권
명제
주어진 선분에 선분 위에 한 점을 한 끝 점으로 하는 다른 선분을 그리면 두 개의 각이 만들어 지는데 이 두 개의 각의 합은 \(180^{\circ}\)이다.
주어진 선분 \(\rm CD\) 위에 점 \(\rm B\)가 있고 선분 \(\rm CD\) 위에 있지 않은 점 \(\rm A\)에 대하여, 선분 \(\rm AB\)와 선분 \(\rm CD\)에 의해서 만들어지는 각 \(\rm ABC\)와 각 \(\rm ABD\)는 각각 \(90^{\circ}\)이거나 합은 \(180^{\circ}\)이다.
주어진 선분 \(\rm CD\) 위에 점 \(\rm B\)가 있고 선분 \(\rm CD\) 위에 있지 않은 점 \(\rm A\)에 대하여, 선분 \(\rm AB\)와 선분 \(\rm CD\)에 의해서 만들어지는 각 \(\rm ABC\)와 각 \(\rm ABD\)이 만들어 진다.
그러면 각 \(\rm ABC\)와 각 \(\rm ABD\)는 각각 \(90^{\circ}\)이거나 합이 \(180^{\circ}\)이다.
주어진 직선을 \(\rm CD\)이라고 하자. 직선 \(\rm CD\) 위에 있지 않은 점 \(\rm A\)를 잡고, 선분 \(\rm CD\) 위에 한 점 \(\rm B\)를 잡자. 선분 \(\rm AB\)를 그리자.
그러면 두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)에 의해서 각 \(\angle\rm ABC\)와 각 \(\rm ABD\)가 만들어 진다.
경우 1) \(\angle\rm CBA=\angle\rm ABD\)이면 \(\angle\rm CBA=90^{\circ}\), \(\angle\rm ABD=90^{\circ}\)이다. [I권 정의10]
경우 2) \(\angle\rm CBA\ne\angle\rm ABD\)이라고 하자.
점 \(\rm B\)에서 직선 \(\rm CD\)에 수직이 되도록 선분 \(\rm EB\)를 작도하자. 즉, \(\angle\rm CBE=\angle\rm DBE=90^{\circ}\)가 되도록 하자. [I권 명제 11]
\(\angle\rm CBE=\angle\rm CBA+\angle\rm ABE\)
\(\angle\rm CBE+\angle\rm EBD=\angle\rm CBA+\angle\rm ABE+\angle\rm EBD\)
이다. [I권 상식2]
그리고 \(\angle\rm DBA=\angle\rm DBE+\angle\rm EBA\)
\(\angle\rm DBA+\angle\rm ABC=\angle\rm DBE+\angle\rm EBA+\angle\rm ABC\)
이다. [I권 상식2] 따라서 \(\angle\rm CBE+\angle\rm EBD=\angle\rm DBA+\angle\rm ABC\)이다. [I권 상식1]
그러므로 \(\angle\rm DBA+\angle\rm ABC=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}\)이다.
그러므로 주어진 선분에 선분 위에 한 점을 한 끝 점으로 하는 다른 선분을 그리면 두 개의 각이 만들어 지는데 이 두 개의 각의 합은 \(180^{\circ}\)이다.
Q.E.D.
이 명제와 함께 유클리드는 양의 크기에 대한 산술계산이 무엇인지를 보이기 시작하였다. 즉 두 각을 더하여서 \(\angle\rm CBE=\angle\rm CBA+\angle\rm ABE\)라고 하였다.
직선 \(\rm CD\) 위의 점 \(\rm B\)와 같은 영역에 있는 두 점 \(\rm A\), \(\rm E\)에 각각 그어 선분 \(\rm AB\), \(\rm BE\)를 그리자. 그러면 이 두 선분과 선분 \(\rm CD\)에 의해서 만들어진 두 각도 같은 영역에 속하게 되고 두 각을 더하였다. 즉, 인접한 두 각에 대해서 각을 더하는 산술계산을 하였다.
그러나 두 각에 대한 산술 계산이 있는 것만은 아니다. \(\angle\rm CBE+\angle\rm EBD=\angle\rm CBA+\angle\rm ABE+\angle\rm EBD\)와 같이 세 각을 더하는 산술 계산도 하였다. 이 각의 계산은 평각으로 간주되고 각의 값으로는 간주되고 있지는 않았다. 단지 각들의 합이 \(180^{\circ}\)이라는 형식적인 표현이다.