애플릿

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증명

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주어진 점 $\mathrm{A}$와 선분 $\mathrm{B}\mathrm{C}$에 대하여 점 $\mathrm{A}$를 한 끝점으로 하고 길이가 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$인 선분을 그려야 한다.

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1) 풀이(작도)

점 $\mathrm{A}$에서 점 $\mathrm{B}$로 선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$를 그리자. [I권 공리1]

선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$가 한 변인 정삼각형 $\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{B}$를 작도 하자. [I권 명제 1]

그러면 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$이다.

두 선분 $\mathrm{D}\mathrm{A}$, $\mathrm{D}\mathrm{B}$를 연장하여 각각 선분 $\mathrm{D}\mathrm{E}$, $\mathrm{D}\mathrm{F}$를 그리자. [I권 공리2]

중심이 $\mathrm{B}$이고 반지름이 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$인 원 $\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{H}$를 그리자. [I권 공리3]

원 $\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{H}$와 선분 $\mathrm{D}\mathrm{F}$와의 교점을 $\mathrm{G}$라고 하자.

또한 중심이 $\mathrm{D}$이고 반지름이 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{G}}$인 원 $\mathrm{G}\mathrm{K}\mathrm{L}$를 그리자. [I권 공리3]

원 $\mathrm{G}\mathrm{K}\mathrm{L}$와 선분 $\mathrm{D}\mathrm{E}$와의 교점을 점 $\mathrm{L}$라고 하자.

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2) 증명(논리적 정당화)

점 $\mathrm{B}$는 원 $\mathrm{C}\mathrm{G}\mathrm{H}$의 중심이고, 두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{G}$ 모두 원 $\mathrm{C}\mathrm{G}\mathrm{H}$ 위의 점이므로 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}$이다.

또한 점 $\mathrm{D}$는 원 $\mathrm{G}\mathrm{K}\mathrm{L}$의 중심이고 두 점 $\mathrm{L}$, $\mathrm{G}$는 원 $\mathrm{G}\mathrm{K}\mathrm{L}$ 위의 점이므로 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{L}}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{G}}$이다.

따라서 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{A}\mathrm{L}}$이다. [I권 정의 15] --- ①

따라서 삼각형 $\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{B}$가 정삼각형이어서 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{A}}$이다. --- ②

식 ①에서 식 ②를 변변끼리 각각 빼면 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{L}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}$이고 [I권 일반상식 3]

어떤 것 둘이 어떤 것과 서로 같다면, 그 둘도 서로 같으므로 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{L}}$이다. [I권 일반상식 1]

그러므로 선분 $\mathrm{A}\mathrm{L}$은 한 끝 점이 $\mathrm{A}$이고 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{L}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$인 선분이다.

Q.E.F.

작도 애플릿

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정당화 애플릿

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부연설명

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애플릿

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작도만을 생각해서는 정삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$를 작도를 할 필요성은 없다.

중심이 점 $\mathrm{A}$이고 반지름이 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$인 원과 중심이 점 $\mathrm{B}$이고 반지름이 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$인 원의 두 교점 중 한 점을 점 $\mathrm{D}$이라고 하자.

그리고 중심이 점 $\mathrm{B}$이고 반지름이 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$인 원을 작도하고 이 원과 반직선 $\mathrm{D}\mathrm{B}$와의 교점을 점 $\mathrm{G}$라고 하자.

또한 중심이 점 $\mathrm{D}$이고 반지름이 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{G}}$인 원과 반직선 $\mathrm{D}\mathrm{A}$의 교점을 점 $\mathrm{L}$이라고 하자.

$\overline{\mathrm{D}\mathrm{L}}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{G}}$

$\overline{\mathrm{D}\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{A}\mathrm{L}}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}$

이고 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{A}}$이므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{L}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}$이다.

또한 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$이므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{L}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$이다.

따라서 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{L}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$이다.

Q.E.D.