I 권
명제
주어진 각과 같은 크기의 각을 주어진 직선 위의 한 점에서 작도 할 수 있다.
주어진 각 \(\rm CDE\)의 크기와 같은 각을 선분 \(\rm AB\)의 한 점 \(\rm A\)에서 작도 할 수 있다.
주어진 각 \(\rm CDE\)가 있다.
그러면, 각 \(\rm CDE\)의 크기와 같은 각을 선분 \(\rm AB\)의 한 점 \(\rm A\)에서 작도 할 수 있음을 보이자.
\(\angle\rm CDE\)인 각 \(\rm CDE\)와 선분 \(\rm AB\)가 주어졌다고 하자.
두 선분 \(\rm DC\), \(\rm DE\)에서 각각 점 \(\rm C\), \(\rm E\)를 잡고 선분 \(\rm CE\)를 긋자. [I권 공리1]
그리고 세 선분 \(\rm DE\), \(\rm EC\), \(\rm CD\)와 같은 길이의 변들로 된 삼각형 \(\rm AFG\)를 \(\overline{\rm AF}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm FG}=\overline{\rm EC}\), \(\overline{\rm GA}=\overline{\rm CD}\)를 만족하도록 작도하자. [I권 명제22]
그러면 두 삼각형 \(\rm AFG\)와 \(\rm DEC\)에서 \(\rm AFG\)를 \(\overline{\rm AF}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm FG}=\overline{\rm EC}\), \(\overline{\rm GA}=\overline{\rm CD}\)이므로 두 삼각형 \(\rm AFG\)와 \(\rm DEC\)는 합동이다.(\(\triangle\rm AFG\equiv \triangle \rm DEC\), SSS합동)
그러므로 \(\angle\rm CDE=\angle\rm GAF\)이다. [I권 명제8]
그러므로 주어진 각과 같은 크기의 각을 주어진 직선 위의 한 점에서 작도 할 수 있다.
Q.E.D.
프로클로스(Proclus)와 히스(Heath)는 삼각형 \(\rm AFG\)를 만들려면 [I권 명제 22]의 아주 작은 수정이 필요하다고 지적을 하였다. [I권 명제 22]에서 삼각형이 직선의 끝 점이 아니라 그 밖의 어딘가에 위치하고 있고 [I권 명제 23]을 이용하여서 삼각형이 선분의 끝 점 \(\rm A\)에 정확히 일치시켜야한다는 것이다.
각도를 이동시키는 이 작도는 자과 컴퍼스를 이용하여 여러 단계가 필요하다. 각 \(\rm D\)의 측면에서 특수한 두 점 \(\rm C\)와 \(\rm D\)를 선택해야하는 특별한 이유가 없다면, 아폴로니우스가 제안한대로 점 \(\rm D\)와 등거리에 있는 점을 잡을 수 있다. 그런면 선분 3개 대신 선분 2개의 거리만 이동하면 된다.
두 선분 \(\rm DC\)와 \(\rm DE\)의 길이가 같으려면 하나의 원이 필요하다. 다음으로, 선분 \(\rm DC\)를 점 \(\rm A\)로 이동하기 위해서는 [I권 명제 2] 및 [I권 명제 1]에 따라 4개의 원(표시되지 않음)이 필요하고, 선분 \(\rm EC\)를 점 \(\rm F\)로 이동시키려면 4개의 원(또한 표시되지 않음)이 더 필요하다. 두 개의 원인 중심 \(\rm ㅁ\)와 반지름 \(\overline{\rm DC}\)(이동 된 선분 길이)인 원과 중심 점 \(\rm F\)와 반지름 \(\overline{\rm EC}\)인 원이 필요하다. 이 마지막 두 원은 점 \(\rm G\)에서 만나고 선분 \(\rm AG\)는 필요한 각의 다른 측면이다.
모두 10개의 원과 1개의 직선이 작도되어야 한다. 중간 단계의 직선은 단지 작도가 올바른지 확인하는 데만 필요하므로 늘 그렇듯이 건너 띌 수도 있다.