일반상식 1
어떤 것 둘이 어떤 것과 서로 같다면, 그 둘도 서로 같다.
일반상식 2
서로 같은 것들에 같은 것을 서로 더하면, 그 결과도 서로 같다.
일반상식 3
서로 같은 것들에 같은 것을 서로 빼면, 그 결과도 서로 같다.
일반상식 4
서로 같은 것들은 서로 같다.
일반상식 5
전체는 부분보다 크다.
부연설명
일반상식 1을 대수적으로 표현하면 \(A=B\)그리고 \(B=C\)이면, \(A=C\)이다.
일반상식 2을 대수적으로 표현하면 \(A=B\)이면 \(A+C=B+C\)이다.
일반상식 3을 대수적으로 표현하면 \(A=B\)이면 \(A-C=B-C\)이다.
일반상식 4을 대수적으로 표현하면 \(A=B\)이면, \(B=A\)이다.
일반상식 5는 현대의 집합론에서는 전체가 부분과 같은 것이 증명되어 현대 수학에서는 이를 논리적으로 거짓으로 보고 있다. 그러나 유클리드 시대에는 이를 참인 것으로 인정하고 있다.
생각해 보기
반사성: 모든 \(x\)에 대해 \(x = x\)이다.
대칭성: \(x = y\) 이면 \(y = x\)이다.
전이성:\(x = y\)이고 \(y = z\)이면 \(x = z\)이다.
등호의 대체: \(x = y\)이면 \(x + z = y + z\) 그리고 \(z + x = z + y\)이다.
결합성: 모든 \(x\), \(y\), \(z\)에 대하여, \(\left(x + y\right) + z = x + \left(y + z\right)\)이다.
교환성: \(x\), \(y\)에 대하여, \(x +y =y+x\)이다.
\(x < y\)이고 \(y = z\)이면 \(x < z\)이다.
\(x = y\)이고 \(y < z\)이면 \(x < z\)이다.
\(x < y\)이고 \(y < z\)이면 \(x < z\)이다.
\(x < y\)이면 \(x + z < y + z\) 그리고 \(z + x < z + y\)이다.
\(x + z = y + z\)이면 \(x = y\)이다.
\(x + z = y\)의 필요충분조건은 \(z = y - x\)이다.
\(x = y\)이면 \(x - z = y - z\) 그리고 \(w - x = w - y\)이다.
\(x = y\) 그리고 \(w = z\)이면 \(x - w = y - z\)이다.
\(\left(x + y\right) - y = x\).
\(\left(x - y\right) + y = x\).
\(\left(x - y\right) - \left(w - z\right) = \left(x - w\right) - \left(y - z\right)\).
\(x < y\)이면 \(z - x > z - y\)이다.
\(x < y\) 그리고 \(w = z\)이면 \(x - w < y - z\)이다.
\(x = y\) 그리고 \(w < z\)이면 \(x - w > y - z\)이다.
\(x < y\) 그리고 \(w > z\)이면 \(x - w < y - z\)이다.