I 권
명제
주어진 삼각형에서 더 큰 각과 마주 보는 대변의 길이가 더 길다.
주어진 삼각형 \(\rm ABC\)에서 각 \(\rm ABC\)가 각 \(\rm BCA\) 보다 크면, 각 \(\rm ABC\)의 대변 \(\rm AC\)가 각 \(\rm BCA\)의 대변 \(\rm AB\)보다 크다.
주어진 삼각형 \(\rm ABC\)에서 각 \(\rm ABC\)가 각 \(\rm BCA\) 보다 크다.
그러면, 각 \(\rm ABC\)의 대변 \(\rm AC\)가 각 \(\rm BCA\)의 대변 \(\rm AB\)보다 크다는 것을 보이자.
삼각형 \(\rm ABC\)에서 \(\angle\rm ABC > \angle\rm BCA\)이라 하자.
만약 \(\overline{\rm AC} \le \overline{\rm AB}\)이라고 가정하자.
ⅰ) \(\overline{\rm AC} = \overline{\rm AB}\)인 경우
\(\overline{\rm AC} = \overline{\rm AB}\)이면 \(\angle\rm ABC = \angle\rm BCA\)가 되어서 \(\angle\rm ABC > \angle\rm BCA\)에 모순이다. [I권 명제 5]
그러므로 \(\overline{\rm AC} \ne \overline{\rm AB}\)이다. \(\cdots\cdots\)①
ii) \(\overline{\rm AC} < \overline{\rm AB}\)인 경우
\(\overline{\rm AC} < \overline{\rm AB}\)이면 \(\angle\rm ABC < \angle\rm BCA\)가 되어서 \(\angle\rm ABC > \angle\rm BCA\)에 모순이다. [I권 명제 18]
그러므로 \(\overline{\rm AC} < \overline{\rm AB}\)일 수 없다. \(\cdots\cdots\)②
①과 ②에 의하여 \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm AB}\) 이다.
그러므로 주어진 삼각형에서 더 큰 각과 마주 보는 대변의 길이가 더 길다.
Q.E.D.
유클리드는 종종 명제를 증명하기 위해 정반대의 명제의 모순을 일으키는 증명방법을 사용한다. 이 증명 방법을 가능케 하는 것은 이 명제의 진술과 명제의 모순된 명제 사이에 논리적인 연관성이 있는 것이 아니라, 어떤 종류의 대칭에 관련되어 있다. 이 경우 한 쪽이 다른 쪽보다 작으면 다른 쪽이 더 크며, 앞의 명제에 적용된다. 따라서 관련 대칭은 ‘작은’과 ‘큰’ 사이를 말한다.
삼각법의 기하학적 기초 중 일부는 원론에 나타나지만 삼각법 자체는 그렇지 않다. 삼각함수는 기본 삼각함수가 사인(sin)과 관련된 화음인 후기 그리스 수학 사이에서 그 모습을 드러낸다.
증명도 하지 않으며 세부적인 것은 설명하지 않겠다. 사인 법칙은 이 명제와 마지막 명제에서 다룬 것 보다 삼각형의 각도와 측면 사이의 관계에 대한 더 정확한 정보를 포함하고 있다. 사인의 법칙은 다음과 같다.
\[\frac{\sin\rm A}{a}=\frac{\sin \rm B}{b}=\frac{\sin \rm C}{c}\]
단, 길이가 \(a\)인 변의 대각은 \(\rm A\)이고, 길이가 \(b\)인 변의 대각은 \(\rm B\)이고, 길이가 \(c\)인 변의 대각은 \(\rm C\)이다. 즉 각 변에 대한 대각 사이의 비에 관련된 정리이다. 사인 법칙은 각의 크기는 대변의 길이와 직접 관련되어 있다.