I 권
명제
주어진 한 직선에 대하여, 두 직선이 각각 한 직선과 평행다면 두 직선은 서로 평행하다.
주어진 한 평면 위에 존재하는 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\), \(\rm EF\)에 대하여, 직선 \(\rm AB\)와 직선 \(\rm EF\)가 평행하고 직선 \(\rm EF\)와 직선 \(\rm CD\)가 평행하면, 직선 \(\rm AB\)와 직선 \(\rm CD\)는 평행하다.
주어진 한 평면 위에 존재하는 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\), \(\rm EF\)에 대하여, 직선 \(\rm AB\)와 직선 \(\rm EF\)가 평행하고 직선 \(\rm EF\)와 직선 \(\rm CD\)가 평행하다.
그러면, 직선 \(\rm AB\)와 직선 \(\rm CD\)는 평행하다는 것을 보이자.
직선 \(\rm EF\)는 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)와 각각 평행하다고 하자.
직선 \(\rm GK\)를 그려서 세 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\), \(\rm EF\)의 교점을 각각 점 \(\rm G\), \(\rm K\), \(\rm H\)이라고 하자.
두 직선 \(\rm AB\)과 \(\rm EF\)는 평행이므로 \(\angle\rm AGK = \angle\rm GHF\)이다. [I권 명제29] \(\cdots\cdots\) ①
두 직선 \(\rm CD\)과 \(\rm EF\)는 평행이므로 \(\angle\rm GHF = \angle\rm GKD\)이다. [I권 명제29] \(\cdots\cdots\) ②
①, ②에 의해서 \(\angle\rm AGK = \angle\rm GKD\)이다. [I권 일반 상식 1]
그러므로 두 직선 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)는 평행하다.(\(\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}\))
그러므로 주어진 한 직선에 대하여, 두 직선이 각각 한 직선과 평행다면 두 직선은 서로 평행하다.
Q.E.D.
이 명제도 세 개의 직선이 한 평면 위에 있다고 가정을 하여야 한다. [XI권 명제 9]는 3개의 직선이 평면에 없는 경우를 다룬다.
유클리드 원론의 많은 명제는 나머지 공리 4개를 가정하고 이들 명제 중 어느 하나를 가정하면, 평행 공리가 명제처럼 증명될 수 있다는 점에서 [공리 5]와 동치이다. 이것은 [I권 명제 30], [I권 명제 29], [I권 명제 32] 그리고 거의 나중에 나올 명제를 말한다. 따라서 유클리드 원론은 공리로 받아들일 수 있는 많은 명제들을 포함하고 있다.
현대의 종합적인 기하학에서 플레이 페어의 공리(John Playfair, 1748년~1819년)는 유클리드의 평행 공리인 공리 5 대신에 자신의 평행 공리 가설로 바꾸었다.
플레이페어의 공리는 ‘주어진 점을 지나며 주어진 선에 평행하는 선이 기껏해야 하나 있다.’이다. (이 공리는 적어도 한 개 명제 즉, [I권 명제 31]에서 유도되었으며 평행 공리와는 독립적이다.)
유클리드의 평행 공리인 [공리 5]보다 플레이페어 공리가 갖는 두 가지 이점은 유클리드 기하와 쌍곡 기하의 구분을 강조한다는 것이다. 플레이 페어의 공리의 두 가지 단점은 유클리드의 평행 공리의 역사적 중요성을 잊지 못한다는 것이며, 플레이 페어 공리로부터 평행 공리로 증명이 비구조적이다. 이 증명은 증명 시작을 점이 존재하지 않는다고 가정하여서 모순을 도출하는 증명이다. 그러나 그 점이 반드시 존재한다고 가정하고 결론을 유도하지만, 그러나 점을 찍을 수 없다는 모순으로 증명을 하여야 한다는 것이 모순된 점이다. 유클리드가 그의 평행 공리와 다른 동치 명제를 선택하기 보다는 자신의 평행 공리를 가정을 선택한 것은 당연하다.