I 권
명제
주어진 선분의 양 끝점에서 같은 방향으로 각각 선분을 그어 만나는 교점과 주어진 선분의 양 끝점으로 이루어진 삼각형을 작도 하면, 주어진 선분의 양 끝 점에서 그은 두 선분과 같은 방향으로 두 선분의 길이와 같은 선분을 그어 처음 교점과 다른 점에서 만나는 삼각형을 작도 할 수 없다.
주어진 선분 \(\rm AB\)의 양 끝점인 두 점 \(\rm A\), \(\rm B\)에서 같은 방향으로 각각 선분을 그어 삼각형 \(\rm ABC\)를 작도하면, 두 선분 \(\rm CA\), \(\rm CB\)의 길이가 각각 두 선분 \(\rm DA\), \(\rm DB\)의 길이와 같으며, 점 \(\rm C\)와 다른 같은 방향에 있는 점 \(\rm D\)를 잡아서 삼각형 \(\rm ABC\)와 다른 삼각형 \(\rm ABD\)를 작도 할 수 없다.
주어진 선분 \(\rm AB\)의 양 끝점인 두 점 \(\rm A\), \(\rm B\)에서 같은 방향으로 각각 선분을 그어 삼각형 \(\rm ABC\)를 작도하자.
그러면 두 선분 \(\rm CA\), \(\rm CB\)의 길이가 각각 두 선분 \(\rm DA\), \(\rm DB\)의 길이와 같으며, 점 \(\rm C\)와 다른 같은 방향에 있는 점 \(\rm D\)를 잡아서 삼각형 \(\rm ABC\)와 다른 삼각형 \(\rm ABD\)를 작도 할 수 없음을 보이자.
주어진 선분 \(\rm AB\)의 양 끝점인 두 \(\rm A\), \(\rm B\)에서 위쪽 방향으로 선분을 그어서 만나도록 하고 그 교점을 점 \(\rm C\)라고 하자. 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm BC\)를 그어 삼각형 \(\rm ABC\)를 작도하자.
그리고 선분 \(\rm AB\)의 양 끝 점에서 \(\overline{\rm CA}=\overline{\rm DA}\), \(\overline{\rm CB}=\overline{\rm DB}\)가 되도록 점 \(\rm C\)와 다르고 같은 방향에 있는 점 \(\rm D\)를 잡자. 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm BD\)를 그어 삼각형 \(\rm ABD\)를 작도하자.
선분 \(\rm CD\)를 작도하자. [I권 공리 1]
삼각형 \(\rm CAB\)와 삼각형 \(\rm DAB\)에서 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AD}\)이므로 \(\angle \rm ACD=\angle\rm ADC\)이다. 따라서 \(\angle\rm ADC > \angle\rm DCB\)이고, \(\angle\rm CDB > \angle\rm DCB\)이다. [I권 명제 5, 일반상식 5]
또한 삼각형 \(\rm DCB\)에서 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm BD}\)이므로 \(\angle\rm CDB=\angle\rm DCB\)이다. 그러므로 \(\angle\rm DCB>\angle\rm DCB\)이다. 이것은 모순이다. [I권 명제 5, 일반상식]
결론적으로 주어진 선분 \(\rm AB\)의 양끝 점인 두 점 \(\rm A\), \(\rm B\)에서 같은 방향으로 각각 선분을 그어 작도한 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\overline{\rm CA}=\overline{\rm DA}\), \(\overline{\rm CB}=\overline{\rm DB}\)가 되도록 점 \(\rm C\)와 다르고 같은 방향에 있는 점 \(\rm D\)에 의해서 작도한 삼각형 \(\rm ABD\)는 다를 수가 없다. 따라서 두 점 \(\rm C\), \(\rm D\)는 다를 수가 없다.(즉, \(\rm C=\rm D\)이다.)
그러므로 주어진 선분의 양 끝점에서 같은 방향으로 각각 선분을 그어 만나는 교점과 주어진 선분의 양 끝점으로 이루어진 삼각형을 작도 하면, 주어진 선분의 양 끝 점에서 그은 두 선분과 같은 방향으로 두 선분의 길이와 같은 선분을 그어 처음 교점과 다른 점에서 만나는 삼각형을 작도 할 수 없다.
Q.E.D.
‘각 \(\rm ADC\)가 각 \(\rm DCB\)보다 크다.’는 결론을 내기 위해서는 \(\angle\rm ADC > \angle\rm DCB\)이어야 하고 점 \(\rm D\)가 삼각형 \(\rm ABC\) 밖에 있지 않으면 \(\angle\rm ADC \le \angle\rm DCB\)이므로 \(\angle\rm ADC \not{>} \angle\rm DCB\)이다.
유클리드는 점 \(\rm D\)가 삼각형 \(\rm ABC\) 내부에 있는 특별한 경우를 고려하지 않았다. 유클리드가 이러한 한 경우만 다루는 것은 드물지 않다. 나머지 경우에 대한 증명은 매우 쉽다. 점 \(\rm D\)가 삼각형 \(\rm ABC\) 내부에 있는 경우에, [I권 명제 5]의 두 번째 결론으로 이를 증명할 수 있다.