증명

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주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\) 각각 두 변이 \(\rm AB\), \(\rm AC\)가 \(\rm DE\), \(\rm DF\)의 길이가 같고(즉, 변 \(\rm AB\)와 \(\rm DE\)변 의 길이가 같고 변 \(\rm AC\)와 변\(\rm DF\)의 길이가 같다.), 각 \(\rm A\)가 각 \(\rm D\)보다 크다.

그러면, 변 \(\rm BC\)의 길이가 변 \(\rm EF\)의 길이보다 크다는 것을 보이자.

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선분 \(\rm DE\)의 한 점 \(\rm D\)에서 \(\angle\rm EDG > \angle\rm BAC\)가 되도록 각 \(\angle\rm EDF\)를 만들 수 있다. [I권 명제 23]

이 때 \(\overline{\rm DG}=\overline{\rm AC}\)가 되도록 선분 \(\rm DG\)를 긋자. 두 선분 \(\rm EG\), \(\rm FG\)를 작도하자. [I권 명제 3]

그러면 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm DG}\) 그리고 \(\angle\rm DGF = \angle\rm DFG\)이므로 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EG}\)이다. [I권 명제4]

이 때 \(\angle\rm DGF >\angle\rm EGF \)이므로 \(\angle\rm DFG > \angle\rm EGF\)이고, 그리고 \(\angle\rm EFG > \angle\rm DFG\)이므로 \(\angle\rm DFG > \angle\rm EGF\)이다.

삼각형 \(\rm EFG\)에서 \(\angle\rm EFG > \angle\rm EGF\)이고 큰 각과 마주 보는 변의 길이가 더 길어 \(\overline{\rm EG} > \overline{\rm EF}\)이다. [I권 명제19],

그러므로 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EG}\)이어서 \(\overline{\rm BC} > \overline{\rm EF}\)이다.

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그러므로 주어진 두 삼각형에서 두 변의 길이가 각각 같지만 두 변이 이루는 각의 크기가 다르다고 할 때, 각의 크기가 크면 나머지 한 변의 길이가 더 길다.

Q.E.D.