증명

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주어진 선분 \(\rm AB\)가 있다.

그러면, 선분 \(\rm AB\)를 한 변으로 하는 정사각형을 작도 할 수 있음을 보이자.

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주어진 선분 \(\rm AB\)의 길이 \(\overline{\rm AB}\)를 한 변의 길이로 하는 정사각형을 작도하여야 한다.

선분 \(\rm AB\)의 끝 점 \(\rm A\)에서 두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm AC\)가 평행하게(\(\rm AB \parallel \rm AC\)) 선분 \(\rm AC\)를 작도 할 수 있다. [I권 명제 11]

\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AD}\)인 점 \(\rm D\)를 선분 \(\rm AC\) 위에 잡는다. [I권 명제 3]

점 \(\rm D\)에서 두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm DE\)가 평행인 (\(\rm AB \parallel \rm DE\)) 선분 \(\rm DE\)를 작도하고, 점 \(\rm B\)에서 선분 \(\rm AD\)와 \(\rm BE\)가 평행인 (\(\rm AD \parallel \rm BE\)) 선분 \(\rm BE\)를 작도 한다. [I권 명제 31]

그러면 사각형 \(\rm ADEB\)는 평행사변형이어서 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm BE}\)이다. [I권 명제34]

그런데 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AD}\)이므로, \(\overline{\rm BA}=\overline{\rm AD}=\overline{\rm DE}=\overline{\rm EB}\)이다.

그러므로 평행사변형 \(\rm ADEB\)의 네 변의 길이가 모두 같다.

이제 평행사변형 \(\rm ADEB\)의 모든 각이 직각임을 보여야 한다.

선분 \(\rm AD\)가 평행선 \(\rm AB\)와 \(\rm DE\)가 교점을 가지므로 \(\angle\rm BDA+\angle\rm ADE=180^\circ\)이다. [I권 명제 29]

그런데 \(\angle\rm BAD=90^\circ\)이므로 \(\rm ADE=90^\circ\)이다. [I권 공리 4]

평행사변형 \(\rm ADEB\)은 대변의 길이가 같고, 대각의 크기가 같으므로 \(\angle\rm ABE=\angle\rm ADE=90^circ\), \(\angle\rm BED=\angle\rm BAD=90^circ\)이다. [I권 명제 34]

따라서 평행사변형 \(\rm ADEB\)의 모든 각이 직각이다.

변들의 길이가 모두 같고, 모든 각이 직각이므로 주어진 길이 선분 \(\rm AB\)로 작도된 사각형 \(\rm ADEB\)는 정사각형이다. [I권 정의 22]

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그러므로 주어진 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 작도 할 수 있다.

Q.E.D.