증명

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주어진 삼각형 \(\rm ABC\)이 있다.

그러면, 변 \(\rm BC\)의 제곱이 변 \(\rm AB\) 제곱과 변 \(\rm AC\) 제곱의 합과 같으면 이 삼각형은 직각삼각형이라는 것을 보이자.

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삼각형 \(\rm ABC\)에서 세변 \(\rm BC\), \(\rm AB\), \(\rm AC\)에 의해서 만든 각각의 정사각형의 넓이가 \(\overline{\rm BC}^2=\overline{\rm AB}^2+\overline{\rm AC}^2\) 이라고 하자. 그러면 \(\rm ABC=90^\circ\)임을 보여야 한다.

점 \(\rm A\)에서 두 변 \(\rm AC\)와 \(\rm AD\)가 수직이고(\(\rm AC \perp \rm AD\)), \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AB}\)인 변 \(\rm AD\)를 그리자. 그리고 변 \(\rm DC\)를 그리자. [I권 명제 11, 명제 3, 공리 1]

\(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AB}\)이므로, (한 변의 길이가 \(\overline{\rm AD}\)인 정사각형 넓이)\(=\overline{\rm AD}^2=\overline{\rm AB}^2=\)(한 변의 길이가 \(\overline{\rm AB}\)인 정사각형 넓이)이고, (한 변의 길이가 \(\overline{\rm AC}\)인 정사각형 넓이)\(=\overline{\rm AC}^2\)이다.

(한 변의 길이가 \(\overline{\rm AD}\)인 정사각형 넓이)\(+\) (한 변의 길이가 \(\overline{\rm AC}\)인 정사각형 넓이)

\(=\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm AC}^2=\overline{\rm AB}^2+\overline{\rm AC}^2\)

\(=\)(한 변의 길이가 \(\overline{\rm AB}\)인 정사각형 넓이)\(+\) (한 변의 길이가 \(\overline{\rm AC}\)인 정사각형 넓이)

이다. [I권 일반상식 2]

그런데 \(\angle\rm DAC=90^\circ\)이므로

(한 변의 길이가 \(\overline{\rm DC}\)인 정사각형 넓이)\(=\)(한 변의 길이가 \(\overline{\rm AD}\)인 정사각형 넓이)\(+\) (한 변의 길이가 \(\overline{\rm AC}\)인 정사각형 넓이)

이다. [I권 명제 47]

그리고 가정에 의해서

(한 변의 길이가 \(\overline{\rm BC}\)인 정사각형 넓이)\(=\)(한 변의 길이가 \(\overline{\rm AB}\)인 정사각형 넓이)\(+\) (한 변의 길이가 \(\overline{\rm AC}\)인 정사각형 넓이)

이므로 (한 변의 길이가 \(\overline{\rm DC}\)인 정사각형 넓이)\(=\)(한 변의 길이가 \(\overline{\rm BC}\)인 정사각형 넓이)이다.

즉, \(\overline{\rm BC}^2=\overline{\rm DC}^2\)이다. 따라서 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm DC}\)이다.

삼각형 \(\rm CAD\)와 \(\rm CAB\)는 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AB}\), 변 \(\rm AC\)는 공통이고, \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm DC}\)이므로 합동이다. (\(\triangle\rm CAD \equiv \triangle\rm CAB\), SSS 합동) [I권 명제 8]

그러므로 \(\angle\rm CAD=\angle\rm CAB=90^\circ\)이다.

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그러므로 주어진 삼각형의 한 변을 가지고 만든 정사각형의 넓이가 다른 두 변들을 가지고 만든 정사각형의 넓이를 더한 것과 같으면, 다른 두 변 사이에 있는 각이 직각이다.

Q.E.D.