증명

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두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)의 각각 밑변 \(\rm BC\)와 \(\rm EF\)가 한 직선 위에 있고 길이가 같으며, 두 선분 \(\rm BF\)와 \(\rm AD\)가 평행하다.

그러면, 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)의 넓이는 같다는 것을 보이자.

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두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)의 두 밑변 \(\rm BC\)와 \(\rm EF\)는 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\)이고 한 직선 위에 있으며, 점 \(\rm A\)와 \(\rm D\)는 선분 \(\rm BF\)에 하나의 평행한 직선 위에 놓여 있다고 하자.

선분 \(\rm AD\)를 길게 늘여 선분 \(\rm GH\)를 그리는데, 점 \(\rm B\)에서 선분 \(\rm CA\)와 평행하게 선분 \(\rm BG\)를 그리고, 점 \(\rm C\)에서 선분 \(\rm DE\)와 평행하게 선분 \(\rm FH\)를 그리자. [I권 공리 2, 명제 31]

사각형 \(\rm GBCA\)와 \(\rm DEFH\)는 평행사변형이고,\(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\) 이고 두 선분 \(\rm BF\)와 \(\rm GH\)가 평행하기 때문에( \(\rm BF \parallel \rm GH\) ) (평행사변형 \(\rm GBCA\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm EDFH\) 넓이)이다. [I권 명제 36]

선분 \(\rm AB\)가 평행사변형 \(\rm GBCA\)의 대각선이므로 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\frac12\)(평행사변형 \(\rm GBCA\) 넓이)이다. [I권 명제 34]

같은 방법으로 (삼각형 \(\rm DEF\) 넓이)\(=\frac12\)(평행사변형 \(\rm DEFH\) 넓이)이다. [I권 명제 34]

그리고 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\frac12\)(평행사변형 \(\rm GBCA\) 넓이)\(=\frac12\)(평행사변형 \(\rm DEFH\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm DEF\) 넓이)이다.

그러므로 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm DEF\) 넓이)이다. [I권 일반상식]

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그러므로 주어진 두 삼각형의 밑변의 길이가 같고, 밑변과 꼭짓점이 모두 동일한 평행선 상에 있으면 두 삼각형의 넓이가 서로 같다.

Q.E.D.