증명

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주어진 \(n\)각형과 \(\angle\rm E\)가 있다.

그러면, 그 \(n\)각형과 같은 넓이를 가지고, \(\angle\rm E\)를 한 각으로 가지는 평행사변형을 작도할 수 있음을 보이자. (\(n\)은 이상의 자연수)

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주어진 다각형이 \(n=4\)일 때 다각형 \(\rm ABCD\)라고 하고, 주어진 각을 \(\angle\rm E\)라고 하자. 다각형 \(\rm ABCD\)와 같은 넓이를 가지고, 평행사변형의 한 각이 \(\angle\rm E\)와 같게 작도하면 된다. \(n\)이 \(5\) 이상일 때의 \(n\)각형은 위의 작업을 반복적으로 하면 된다.

선분 \(\rm DB\)를 그려라. [I권 공리 1]

삼각형 \(\rm ABD\)의 넓이와 같고, \(\angle\rm HKF=\angle\rm E\)가 되게 평행사변형 \(\rm FKHG\)를 작도할 수 있다. [I권 명제 42]

다음으로 삼각형 \(\rm DBC\)의 넓이와 같고, \(\angle\rm GHM=\angle\rm E\)이고, 한 변이 선분 \(\rm GH\)가 되는 평행사변형 \(\rm GHLM\)을 작도 할 수 있다. [I권 명제 44]

\(\angle\rm HKF=\angle\rm E=\angle\rm GHM\) 이어서 \(\angle\rm HKF=\angle\rm GHM\)이다. [I권 일반상식 1]

\(\angle\rm HKF=\angle\rm GHM\)의 양변에 \(\angle\rm KHG\)를 더하면, \(\angle\rm HKF+\angle\rm KHG=\angle\rm GHM+\angle\rm KHG\)이다. [I권 일반상식 2]

그리고 \(\angle\rm HKF+\angle\rm KHG=180^\circ\)이고, \(\angle\rm HKF=\angle\rm GHM\) 이어서, \(\angle\rm GHM+\angle\rm KHG=180^\circ\) 이다. [I권 일반 상식 1]

따라서 선분 \(\rm GH\)의 끝 점 \(\rm H\)에서 변 \(\rm KH\)와 변 \(\rm HM\)이 다른 방향으로 뻗어나가고, 이웃한 두 각 \(\angle\rm KHG\)와 \(\angle\rm GHM\)이 \(\angle\rm KHG+\angle\rm GH=180^\circ\)이므로 두 변 \(\rm KH\)와 \(\rm KM\)는 한 직선 상에 있다. [I권 명제 14]

선분 \(\rm HG\)가 평행선 \(\rm KM\), \(\rm FG\)와 만나므로, 이 때 \(\angle\rm MHG\)와 \(\angle\rm HGF\)는 엇각이므로 \(\angle\rm MHG=\angle\rm HGF\)이다. [I권 명제 29]

\(\angle\rm MHG=\angle\rm HGF\)의 양변에 \(\angle\rm HGL\)을 더하면, \(\angle\rm MHG+\angle\rm HGL=\angle\rm HGF+\angle\rm HGL\)이다. [I권 일반 상식 2]

\(\angle\rm MHG+\angle\rm HGL=180^\circ\)이므로 \(\angle\rm HGF+\angle\rm HGL=180^\circ\)이다. [I권 명제 29, 일반 상식 1]

그러므로 두 선분 \(\rm FG\)와 \(\rm GL\)은 일직선 상에 있다. [I권 명제 14]

\(\overline{\rm FK}=\overline{\rm HG}\)이고, 두 선분 \(\rm FK\)와 \(\rm HG\)는 평행하고(\(\rm FK \parallel \rm HG\)), \(\overline{\rm HG}=\overline{\rm LM}\)이고, 두 선분 \(\rm HG\)와 \(\rm LM\)은 평행하여서(\(\rm HG \parallel \rm LM\))이고, 두 선분 \(\rm FK\)와 \(\rm LM\)은 평행하다.(\(\rm FK \parallel \rm LM\)) [ I권 명제 34, 일반 상식1, 명제 30]

선분 \(\rm FL\)과 \(\rm KM\)은 양 끝 점을 잇고 있으므로 \(\overline{\rm FL}=\overline{\rm KM}\)이고, 두 선분 \(\rm FL\)과 \(\rm KM\)은 평행하다.(\(\rm FL \parallel \rm KM\)) [I권 명제33]

따라서 사각형 \(\rm FKHG\)는 평행사변형이다.

(삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\)(사각형 \(\rm FKHG\) 넓이)이고 (삼각형 \(\rm DBC\) 넓이)\(=\)(사각형 \(\rm GHLM\) 넓이)이어서 (사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)\(=\)(사각형 \(\rm FKLM\) 넓이)이다.

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그러므로 주어진 다각형과 각에 대하여 그 다각형의 넓이와 같고 주어진 각과 같은 한 각으로 하는 평행사변형을 작도 할 수 있다.

Q.E.D.