증명

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주어진 삼각형 \(\rm ABC\)에서 밑변 \(\rm BC\)를 연장하여 선분 \(\rm BD\)를 그리자.

그러면, 외각 \(\rm ACD\)의 크기는 삼각형의 두 내각인 각 \(\rm ABC\)와 각 \(\rm BAC\)의 합과 같음을 보여서 삼각형의 세 내각인 각 \(\rm ABC\), 각 \(\rm BCA\), 각 \(\rm CAB\)의 크기의 합은 \(180^\circ\)임을 즉, 삼각형 세 내각의 합은 \(180^\circ\)임을 보이자.

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삼각형 \(\rm ABC\)의 밑변 \(\rm BC\)를 늘려서 선분 \(\rm CD\)를 그린다.

점 \(\rm C\)를 지나면서 직선 \(\rm AB\)와 평행한 직선 \(\rm CE\)를 긋는다. [I권 명제31]

그러면 직선 \(\rm AB\)와 직선 \(\rm CE\)는 평행이고, 선분 \(\rm AC\)가 이 두 직선과 만나므로 엇각인 각 \(\rm BAC\)와 각 \(\rm ACE\)의 크기는 \(\angle\rm BAC = \angle\rm ACE\)이다. [I권 명제29]

직선 \(\rm BC\)가 평행한 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CE\)와 만나므로 외각 \(\rm ECD\)와 내각 \(\rm ABC\)의 크기는 \(\angle\rm ECD =\angle\rm ABC\) 이다. [I권 명제29]

그러므로 \(\angle\rm ACD = \angle\rm BAC + \angle\rm ABC\)이다. [I권 일반상식 2]

양변에 \(\angle\rm ACB\)를 더하면, \(\angle\rm ACB + \angle\rm BAC + \angle\rm ABC = \angle\rm ACB + \angle\rm ACD = 180^\circ \)이다. [I권 명제 13, 일반상식 1]

따라서 삼각형 \(\rm ABC\)의 세 내각의 합은 \(180^\circ\)이다.

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그러므로 주어진 삼각형의 한 변을 연장했을 때 생기는 외각의 크기는 다른 두 내각의 크기를 더한 것과 같다. 따라서 삼각형의 세 내각의 합은 \(180^\circ\)이다.

Q.E.D.