Proposition 32 of Book I

명제 32

주어진 삼각형의 한 변을 연장했을 때 생기는 외각의 크기는 다른 두 내각의 크기를 더한 것과 같다. 따라서 삼각형의 세 내각의 합은 $180^{\circ}$ 이다.

주어진 삼각형 $A B C$ 에서 밑변 $B C$ 를 연장한 선분 $B D$ 를 그려서 만든 외각 $A C D$ 의 크기는 삼각형의 두 내각인 각 $A B C$ 와 각 $B A C$ 의 합과 같다. 따라서 삼각형의 세 내각인 각 $A B C$ , 각 $B C A$ , 각 $C A B$ 의 크기의 합은 $180^{\circ}$ 이다. 따라서 삼각형 세 내각의 합은 $180^{\circ}$ 이다.

증명

주어진 삼각형 $A B C$ 에서 밑변 $B C$ 를 연장하여 선분 $B D$ 를 그리자.

그러면, 외각 $A C D$ 의 크기는 삼각형의 두 내각인 각 $A B C$ 와 각 $B A C$ 의 합과 같음을 보여서 삼각형의 세 내각인 각 $A B C$ , 각 $B C A$ , 각 $C A B$ 의 크기의 합은 $180^{\circ}$ 임을 즉, 삼각형 세 내각의 합은 $180^{\circ}$ 임을 보이자.

삼각형 $A B C$ 의 밑변 $B C$ 를 늘려서 선분 $C D$ 를 그린다.

점 $C$ 를 지나면서 직선 $A B$ 와 평행한 직선 $C E$ 를 긋는다. [I권 명제31]

그러면 직선 $A B$ 와 직선 $C E$ 는 평행이고, 선분 $A C$ 가 이 두 직선과 만나므로 엇각인 각 $B A C$ 와 각 $A C E$ 의 크기는 $∠ B A C = ∠ A C E$ 이다. [I권 명제29]

직선 $B C$ 가 평행한 두 직선 $A B$ , $C E$ 와 만나므로 외각 $E C D$ 와 내각 $A B C$ 의 크기는 $∠ E C D = ∠ A B C$ 이다. [I권 명제29]

그러므로 $∠ A C D = ∠ B A C + ∠ A B C$ 이다. [I권 일반상식 2]

양변에 $∠ A C B$ 를 더하면, $∠ A C B + ∠ B A C + ∠ A B C = ∠ A C B + ∠ A C D = 180^{\circ}$ 이다. [I권 명제 13, 일반상식 1]

따라서 삼각형 $A B C$ 의 세 내각의 합은 $180^{\circ}$ 이다.

그러므로 주어진 삼각형의 한 변을 연장했을 때 생기는 외각의 크기는 다른 두 내각의 크기를 더한 것과 같다. 따라서 삼각형의 세 내각의 합은 $180^{\circ}$ 이다.

Q.E.D.

부연설명

프로클러스는 이 명제에 2개의 보조 명제를 제안하였다.

프로클러스(Proclus) 보조 명제

보조 명제 1 : 선분으로 연결된 볼록 $n$ 다각형의 내각의 합은 $(2 n - 4) \cdot 90^{\circ}$ 이다. 즉, $(n - 2) \cdot 180^{\circ}$ 이다.

보조 명제 2 : 선분으로 연결된 볼록 $n$ 다각형의 외각의 합은 $360^{\circ}$ 이다.