I 권
명제
주어진 선분을 이등분 할 수 있다.
주어진 선분 \(\rm AB\)를 이등분 할 수 있다.
주어진 선분 \(\rm AB\)가 있다.
그러면 선분 \(\rm AB\)를 이등분할 수 있음을 보이자.
주어진 선분 길이를 \(\rm AB\)라 하자.
\(\overline{\rm AB}\)를 한 변으로 하는 정삼각형을 작도한다. [1권 명제1]
이 정삼각형의 새로운 꼭짓점을 점 \(\rm C\)라 하자. \(\angle\rm ACB\)를 이등분하는 각이등분선을 그리고, 이 각이등분선과 선분 \(\rm AB\)와 만나는 교점을 점 \(\rm D\)라 하자. [1권 명제 9]
두 두 삼각형 \(\rm ACD\)와 \(\rm BCD\)에서 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm CB}\)이고, \(\overline{\rm CD}\)는 공통이며, \(\angle\rm ACD=\angle\rm BCD\)이므로 두 삼각형 \(\rm ACD\)와 \(\rm BCD\)는 합동이다.(\(\triangle\rm ACD\equiv\triangle\rm BCD\), SAS합동) [I권 정의 20]
따라서 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm DB}\)이다. [1권 명제 4]
그러므로 점 \(\rm D\)는 선분 \(\rm AB\)를 이등분한다.
그러므로 주어진 선분을 이등분 할 수 있다.
Q.E.D.
이 명제도 선분 \(\rm AB\)를 한 변으로 하는 정삼각형을 작도할 필요성은 없다. 두 개의 원을 작도하면 된다.
점 \(\rm A\)를 중심으로 하고 \(\overline{\rm AB}\)를 반지름으로 하는 원 \(c\)를 작도하고, 점 \(\rm B\)를 중심으로 하고 \(\overline{\rm AB}\)를 반지름으로 하는 원 \(d\)를 작도하자. [I권 명제 1]
두 원의 교점을 각각 점 \(\rm C\), 점 \(\rm D\)라고 하자.
선분 \(\rm CD\)를 그리자. 그러면 선분 \(\rm CD\)는 각 \(\rm ACB\)를 이등분한다. [I권 명제 9]
그리고 선분 \(\rm AB\)와 선분 \(\rm CD\)의 교점을 점 \(\rm E\)라고 하자. 그러면 점 \(\rm E\)는 선분 \(\rm AB\)를 이등분한다.
\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=\overline{\rm BC}\)이므로 삼각형 \(\rm ABC\)는 정삼각형이다. 그리고 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AD}=\overline{\rm BD}\)이므로 삼각형 \(\rm ABD\)도 정삼각형이다. 이 두 정삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm ABD\)는 합동이다. 그러나 작도만을 염두해 두면 이 두 정삼각형을 작도 할 필요성은 없다.