I 권
명제
이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같다. 그리고 길이가 같은 두 변을 길게 늘였을 때 밑변 아래에 생기는 두 외각의 크기도 서로 같다.
\(\overline{\rm AB}= \overline{\rm AC}\)인 이등변삼각형 \(\rm ABC\)의 두 밑각인 각 \(\rm ABC\)와 각 \(\rm ACB\)은 \(\rm\angle ABC=\angle ACB\)이다. 또한 길이가 같은 두 변 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 길게 늘였을 때 밑변 아래에 생기는 두 외각인 각 \(\rm FBC\), 각 \(\rm GCB\)도 \(\rm\angle GBC=\angle GCB\)이다..
삼각형 \(\rm ABC\)은 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}\)인 이등변삼각형이다.
그러면 두 밑각인 각 \(\rm ABC\), 각 \(\rm ACB\)가 \(\angle\rm ABC=\angle\rm ACB\)이고, 두 변 \(\rm AB\), \(\rm AC\)를 길게 늘렸을 때 만들어 지는 두 외각인 각 \(\rm FBC\), 각 \(\rm GCB\)도 \(\angle\rm FBC=\angle\rm GCB\)임을 보여야 한다.
(1) 작도
삼각형 \(\rm ABC\)가 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}\)인 이등변삼각형이라 하자. [I권 정의 20]
선분 \(\rm AB\)와 선분 \(\rm AC\)을 늘여서 선분 \(\rm AD\)와 선분 \(\rm AE\)를 작도하여라. [I권 공리 2]
선분 \(\rm BD\) 내부에 임의의 점 \(\rm F\)를 잡자.
그리고 \(\overline{\rm AF}=\overline{\rm AG}\)인 선분 \(\rm AE\) 위의 점 \(\rm G\)를 잡자. [1권 명제3]
그리고 선분 \(\rm FC\)와 선분 \(\rm GB\)를 그리자. [I권 공리 1]
(2) 정당화
1) 두 외각인 각 \(\rm FBC\), 각 \(\rm GCB\)이 \(\angle\rm FBC=\angle\rm GCB\)임을 먼저 보이자.
삼각형 \(\rm ACF\)와 삼각형 \(\rm ABG\)에서
\(\overline{\rm AF}=\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}\)이고, 각 \(\rm FAG\)가 공통각으로 같으므로
삼각형 \(\rm ACF\)와 삼각형 \(\rm ABG\)는 합동이다.(\(\triangle \rm ACF \equiv \triangle \rm ABG\), SAS 합동)
따라서 대응하는 나머지 두 쌍의 각의 크기가 같으므로 \(\angle\rm ACF=\angle\rm ABG\), \(\angle\rm AFC=\angle\rm AGB\)이다. [I권 명제4]
\(\overline{\rm AF}=\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}\)이므로 \(\overline{\rm BF}=\overline{\rm AF}-\overline{\rm AB}=\overline{\rm AG}-\overline{\rm AC}=\overline{\rm CG}\)이다. 즉, \(\overline{\rm BF}=\overline{\rm CF}\)이다. [I권 일반상식 3]
삼각형 \(\rm BFC\)와 삼각형 \(\rm CGB\)에서
변 \(\rm BC\)가 공통변으로 그 길이가 같고, \(\overline{\rm BF}=\overline{\rm CG}\), \(\overline{\rm FC}=\overline{\rm GB}\)이므로
삼각형 \(\rm BFC\)와 삼각형 \(\rm CGB\)는 합동이다.(\(\triangle \rm BFC \equiv \triangle \rm CGB\), SSS 합동)
따라서 대응하는 나머지 두 쌍의 각의 크기가 같으므로 \(\angle\rm FBC=\angle\rm GCB\)이고 또한 \(\angle\rm BCF=\angle\rm CBG\)이다. [I권 명제4]
따라서 \(\angle\rm FBC=\angle\rm GCB\)이므로 두 외각인 각 \(\rm FBC\), 각 \(\rm GCB\)의 크기는 같다.
2) 두 밑각인 각 \(\rm ABC\), 각 \(\rm ACB\)가 \(\angle\rm ABC=\angle\rm ACB\)임을 보이자.
그런데 \(\angle\rm ABG=\angle\rm ACF\)이고, \(\angle\rm BCF=\angle\rm CBG\)이므로 \(\angle\rm ABC=\angle\rm ABG-\angle\rm CBG=\angle\rm ACF-\angle\rm BCF=\angle\rm ACB\)이다.
따라서 \(\angle\rm ABC=\angle\rm ACB\)이다. [I권 일반상식 3]
그러므로 이등변삼각형 \(\rm ABC\)의 두 밑각 \(\rm ABC\)와 \(\rm ACB\)의 크기는 같다.
이등변 삼각형에서 두 밑각의 크기는 서로 같다. 그리고 길이가 같은 두 변을 길게 늘였을 때 밑변 아래에 생기는 두 외각의 크기도 서로 같다.
Q.E.D.
이 명제는 두 가지의 결론을 가지고 있다.
첫 번째는 두 내각 \(\rm ABC\)와 \(\rm ACB\)는 \(\angle\rm ABC=\angle\rm ACB\)이고, 두 번째는 두 외각 \(\rm FBC\)와 \(\rm GCB\)도 \(\angle\rm FBC=\angle\rm GCB\)인 것이다.
두 번째 결론은 첫 번째 결론인 \(\angle\rm ABC=\angle\rm ACB\)을 이용하여
\(\angle\rm FBC = \angle\rm ABF -\angle\rm ABC=180^{\circ}-\angle\rm ABC=180^{\circ}-\angle\rm ACB=\angle\rm ACG-\angle\rm ACB=\angle\rm GCB\)으로 증명할 수 있다.
그러나 유클리드는 평각을 사용하지 않았다. 만약 유클리드가 평각을 사용하려고 하였다면 전체 평각이 같다는 것을 같다는 것을 증명하였어야 하는데 이것을 이전 명제를 활용하여서는 증명하지는 못한다.
I권 명제 13에서 이를 증명할 수 있다. I권 명제 13을 활용하면 \(\angle\rm ABC+\angle\rm FBC=2\angle\rm R\), \(\angle\rm ACB+\angle\rm GCB=2\angle\rm R\) 이어서 모든 평각이 같다는 것을 증명할 수 있다.
\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}\)인 이등변삼각형 \(\rm ABC\)를 직선 \(\rm AC\)를 대칭축으로하여 변형없이 회전시켜 반대쪽 면에 놓자.
그 반대편에 놓은 삼각형을 \(\rm ACD\)라고 하자. 변형없이 회전시켜서 놓았기 때문에 \(\rm\angle ADC=\angle ABC\)이다.
그리고 삼각형 \(\rm ABC\)는 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}\)인 이등변삼각형이고, 삼각형 \(\rm ABC\)를 직선 \(\rm AC\)에 의해서 삼각형 \(\rm ACD\)회전시켜 만들었기 때문에 이 삼각형도 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AD}\)인 이등변삼각형이다.
그리고 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm AC\)로 만들어진 각 \(\rm BAC\)와 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm AD\)로 만들어진 각 \(\rm CAD\)는 \(\rm\angle BAC=\angle ADC\)이다.
따라서 삼각형 \(\rm ABC\)의 변 \(\rm AB\)의 반대편에 있는 각 \(\rm ACB\)와 삼각형 \(\rm ACD\)의 변 \(\rm AC\)의 반대편에 있는 각 \(\rm ADC\)는 \(\rm\angle ABC=\angle ADC\)이다.
따라서 \(\rm\angle ADC=\angle ABC\)이고 \(\rm\angle ABC=\angle ADC\)이므로 \(\rm\angle ABC=\angle ACB\)이다.
따라서 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}\)인 이등변삼각형 \(\rm ABC\)의 두 밑각인 각 \(\rm ABC\)와 각 \(\rm ACB\)는 \(\rm\angle ABC=\angle ACB\)이다.
위의 그림 처럼 평면의 한 영역에 있는 도형과 평면을 직선 \(\rm AC\)를 중심으로 접어 한 쪽 영영에 있는 도형을 그 도형을 반대쪽 영역으로 회전시켜서 일치한 도형은 서로 직선 \(\rm AC\)에 대칭(symmetry)이라고 한다.
모든 정삼각형은 이등변삼각형이다.
1.이 명제에서 사용된 그림에서 두 선분 \(\rm BG\), \(\rm CF\)의 교점과 꼭짓점 \(\rm A\)를 지나는 직선에 삼각형 \(\rm ABC\)가 대칭임을 증명하시오.
2.밑변을 공유항는 두 개의 서로다른 이등변삼각형이 밑변을 포함하는 직선에 의해 나누어진 같은 영역에 있거나 서로 반대의 영역에 있다고 하자. 그러면 두 이등변삼각형의 꼭짓점을 이은 직선에 의해서 이 두 이등변삼각형이 대칭임을 보이시오.
3."모든 각은 각이등분을 할 수 있다."는 명제를 공리처럼 가정하고 이 명제를 증명하시오.
4.마름모꼴은 두 대각선을 포함하는 축에 의해서 대칭임을 증명하시오.
5.정삼각형의 세 변에서 반대편 각으로 부터 거리가 같은 점을 각각 잡자. 이 세 점을 이은 삼각형이 정삼각형임을 보이시오.
생각해 보기
\(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AE}\)인 변 \(\rm AB\), \(\rm AC\) 위에 각각 점 \(\rm D\), \(\rm E\)를 잡자.
삼각형 \(\rm ADC\)와 삼각형 \(\rm ADB\)은
\(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}\), \(\rm\angle A\)는 공통
이므로 합동이다.
따라서 나머지 대응하는 각들이 같고, 나머지 한변 길이가 같다. 즉, \(\rm\angle ABE=\angle ACD\)이고 \(\overline{\rm DC}=\overline{\rm EB}\)이다.
그리고 \(\overline{\rm DB}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm AD}=\overline{\rm AC}-\overline{\rm AE}=\overline{\rm EC}\)이다.
삼각형 \(\rm DBC\)와 삼각형 \(\rm ECB\)에서,
\(\overline{\rm DC}=\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm DB}=\overline{\rm EC}\), \(\overline{\rm BC}\)는 공통
이므로 합동이다. 따라서 대응하는 각들이 같다. 즉, \(\rm\angle EBC=\angle DCB\)이다.
그러므로 \(\rm\angle ABC\)
\(=\rm\angle ABE + \angle EBC=\rm\angle ACD+\angle DCB\)
\(=\rm\angle ACB\)
따라서 \(\rm\angle ABC=\angle ACB\)이므로 이등변삼각형 \(\rm ABC\)의 두 밑각이 같다.
길이가 같은 변을 길게 늘여서 생기는 외각이 같음을 보이지는 못한다.
파부스는 첫 번째 결론을 조금 더 짧게 증명을 하였다.
두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm ACB\)에서 삼각형 \(\rm ABC\)의 변 \(\rm BA\)와 삼각형 \(\rm CBA\)의 변 \(\rm CA\)가 서로 대응되고 그 길이도 같아 \(\overline{\rm BA}=\overline{\rm CA}\)이고, 삼각형 \(\rm ABC\)의 변 \(\rm AC\)와 삼각형 \(\rm CBA\)의 변 \(\rm AB\)가 서로 대응되고 그 길이도 같아 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}\)이며, 각 \(\angle A\)가 공통으로 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm ACB\)는 합동이다.(\(\triangle\rm ABC \equiv \triangle\rm ACB\), SAS합동)
그러므로 I권 명제 4에 의해서 삼각형 \(\rm ABC\) 내각 \(\rm B\)와 삼각형 \(\rm ACB\)의 내각 \(\rm C\)는 \(\angle\rm B=\angle\rm C\)이다.
현재 이 파푸스의 증명이 중학교 교육과정에 학생들에게 지도하는 증명 방법이다.