I 권
명제
주어진 각을 이등분 할 수 있다.
주어진 각 \(\rm BAC\)를 이등분 할 수 있다.
주어진 각 \(\rm BAC\)가 있다.
그러면 각 \(\rm BAC\)를 이등분할 수 있음을 보이자.
주어진 각을 \(\angle\rm BAC\)이라고 하자.
선분 \(\rm AB\) 위에 임의의 점 \(\rm D\)를 잡자.
\(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AE}\)가 되도록 선분 \(\rm AC\) 위에 점 \(\rm E\)를 잡자. [I권 명제 3]
선분 \(\rm DE\)를 그리고 \(\overline{\rm DE}\)를 한 변으로 하는 정삼각형 \(\rm DEF\)를 작도하자. [I권 공리 1, 명제 1]
이제 선분 \(\rm AF\)를 그리자. [I권 공리 1]
두 삼각형 \(\rm ADF\)와 \(\rm AEF\)에서 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AE}\)이고, \(\rm AF\)는 공통이며, \(\overline{\rm DF}=\overline{\rm EF}\)이다. 따라서 두 삼각형 \(\rm ADF\)와 \(\rm AEF\)는 합동이다.(\(\triangle \rm DAF \equiv \triangle \rm AEF\), SSS 합동)
그러므로 \(\angle \rm DAF = \angle\rm EAF\)이다.
따라서 선분 \(\rm AF\)는 \(\angle\rm BAC\)를 이등분한다.
그러므로 주어진 각을 이등분 할 수 있다.
Q.E.D.
컴퍼스와 자를 가지고 작도를 할 때는 증명의 순서에 따라서 하기 보다는 더 줄여서 작도를 할 수 있다.
우선 각 \(\rm BAC\)가 주어졌다고 하자.
선분 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm D\)를 잡자. 그리고 중심을 점 \(\rm A\)로 반지름을 \(\overline{\rm AD}\)로 하는 원을 작도하고 이 원과 선분 \(\rm AC\)와의 교점을 점 \(\rm E\)라고 하자.
중심이 점 \(\rm D\)이고 반지름이 \(\overline{\rm DE}\)인 원과 중심이 점 \(\rm E\)이고 반지름이 \(\overline{\rm DE}\)인 원과 교점을 점 \(\rm F\)라고 하자.
선분 \(\rm AF\)를 그리자. 그러면 \(\angle\rm BAF=\angle\rm CAF\)이고, \(\angle\rm BAC=2\angle\rm BAF=2\angle\rm CAF\)이다.
즉, 구지 정삼각형을 작도할 필요성은 없다.
또한 중심이 점 \(\rm D\)인 원과 중심이 점 \(\rm E\)인 원에서 반지름이 \(\overline{\rm DE}\)로 같지 않고 각각 \(\overline{\rm AD}\), \(\overline{\rm AE}\)로 하는 두 원의 교점을 점 \(\rm F\)라고 하여도 된다.