I 권
명제
주어진 직각삼각형에서 빗변으로 만든 정사각형의 넓이는 나머지 두 변으로 만든 정사각형의 넓이의 합과 같다.
각 \(\rm BAC\)가 직각인 주어진 직각삼각형 \(\rm ABC\)에서 변 \(\rm BC\)의 제곱은 변 \(\rm AB\) 제곱과 변 \(\rm AC\) 제곱의 합과 같다.
각 \(\rm BAC\)가 직각인 주어진 직각삼각형 \(\rm ABC\)가 있다.
그러면, 변 \(\rm BC\)의 제곱은 변 \(\rm AB\) 제곱과 변 \(\rm AC\) 제곱의 합과 같다는 것을 보이자.
직각삼각형 \(\rm ABC\)에서 \(\angle\rm BAC=90^\circ\)이라고 하자. 그러면, 빗변 \(\rm BC\)로 만든 정사각형의 넓이는 두 변 \(\rm AB\)와 \(\rm AC\)로 각 각 만든 정사각형의 넓이의 합이 같음을 보여야 한다. 즉, \(\overline{\rm AB}^2+\overline{\rm AC}^2=\overline{\rm BC}^2\)을 보여야 한다.
한 변이 \(\overline{\rm BC}\)인 정사각형 \(\rm BDEC\)를 작도하고, 한 변이 \(\overline{\rm AB}\)인 정사각형 \(\rm GFBA\)와 한 변이 \(\overline{\rm AC}\)인 정사각형 \(\rm HACK\)를 작도한다. [I권 명제 46]
점 \(\rm A\)에서 두 변 \(\rm BD\)와 \(\rm AL\)이 평행하도록(\(\rm BD \parallel \rm AL\)) 선분 \(\rm DE\) 위의 점 \(\rm L\)을 잡는다. 그리고 선분 \(\rm AD\)와 \(\rm FC\)를 작도한다. [I권 명제 31, 공리 1]
\(\angle\rm BAC=90^\circ\)이다. 선분 \(\rm BA\)의 끝 점 \(\rm A\)에서 두 방향으로 그은 선분 \(\rm AC\)와 선분 \(\rm AG\)가 만드는 이웃한 두 각 \(\angle\rm BAC\)와 \(\angle\rm BGA\)의 합이 \(\angle\rm BAC + \angle\rm BFA=180^\circ\)이므로 선분 \(\rm CA\)와 \(\rm AG\)는 일직선 상에 있다. [I권 정의 22, 명제 14]
같은 방법으로 선분 \(\rm BA\)와 \(\rm AH\)도 일직선 상에 있다.
\(\angle\rm DBC=90^\circ\), \(\angle\rm FBA=90^\circ\)이므로 \(\angle\rm DBC=\angle\rm FBA\)이다.
\(\angle\rm DBC=\angle\rm FBA\)의 양 변에 \(\angle\rm ABC\)를 더하면, \(\angle\rm DBC+\angle\rm ABC=\angle\rm FBA+\angle\rm ABC\)이다. [I권 일반상식 2]
\(\angle\rm DBA=\angle\rm DBC+\angle\rm ABC\)이고, \(\angle\rm FBC=\angle\rm FBA+\angle\rm ABC\)이므로 \(\angle\rm DBA=\angle\rm FBC\)이다. [I권 일반상식 1]
두 삼각형 \(\rm ABD\)와 \(\rm FBC\)는 \(\overline{\rm DB}=\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm FB}=\overline{\rm BA}\), \(\angle\rm ABD=\angle\rm FBC\) 이어서 합동이다. (\(\triangle\rm ABD \equiv \triangle\rm FBC\), SAS 합동) [I권 정의 22, 명제 4]
그러므로 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm FC}\)이다.
밑변 \(\rm BD\)를 공통으로 하고, 같은 평행선들 \(\rm BD\), \(\rm AL\)에 놓여 있기 때문에, 사각형 \(\rm BDLM\)은 평행사변형이고, (사각형 \(\rm BDLM\) 넓이)\(=2\)(삼각형 \(\rm ABD\) 넓이)이다. [I권 명제 41]
(사각형 \(\rm BDLM\) 넓이)\(=2\)(삼각형 \(\rm ABD\) 넓이)\(=2\)(삼각형 \(\rm FBC\) 넓이)\(=\)(사각형 \(\rm GFBA\) 넓이) 이므로 (사각형 \(\rm BDLM\) 넓이)\(=\)(사각형 \(\rm GFBA\) 넓이)이다.
같은 방법으로, 선분 \(\rm AE\)와 \(\rm BK\)를 작도하면, (사각형 \(\rm CELM\) 넓이)\(=\)(사각형 \(\rm HACK\) 넓이)이다.
그러므로 (사각형 \(\rm DBEC\) 넓이)\(=\)(사각형 \(\rm GFBA\) 넓이)\(+\)(사각형 \(\rm HACK\) 넓이)이다. [I권 일반상식 2]
그런데 (사각형 \(\rm GFBA\) 넓이)\(=\overline{\rm AB}^2\), (사각형 \(\rm HACK\) 넓이)\(=\overline{\rm AC}^2\), (사각형 \(\rm BDEC\) 넓이)\(=\overline{\rm BC}^2\) 이므로 \(\overline{\rm BC}^2=\overline{\rm AB}^2+\overline{\rm AC}\)이다.
그러므로 주어진 직각삼각형에서 빗변으로 만든 정사각형의 넓이는 나머지 두 변으로 만든 정사각형의 넓이의 합과 같다.
Q.E.D.
이 명제는 [VI권 명제 31]에서 삼각형 \(\rm ABC\)의 변에 임의의 닮음 도형을 놓아 일반화를 시킬 수 있다. 삼각형의 닮음비가 세 변의 길이의 비인 세 도형을 각 변에 놓으면, 빗변의 도형의 넓이는 나머지 두 변의 도형의 넓이의 합과 같다.
이 [I권 명제 47]은 흔히 피타고라스 정리라고 불리며, 피타고라스 이후 수세기 동안 그리고 심지어 유클리드 이후의 다른 사람들에 의해 그렇게 불렸다. 이 명제는 피타고라스 자신에게는 아니더라도 피타고라스학파 사람에게는 매우 잘 알려져 있었다. 아마도 피타고라스학파 사람과 피타고라스는 적어도 증명을 알고 있었다. 그러나 이 명제의 결론에 대한 지식은 피타고라스 이전 훨씬 오래전에 알려져 있었다.
피타고라스 이전 1천년 이상, 구 바빌로니아인(기원전 1900~1600년)은 직각삼각형과 관련된 기하학적 문제를 해결하기 위해 이 명제를 사용하였다. 게다가 구 바빌로니아인들은 플림톤 322로 알려진 점토판에 \(a^2+b^2=c^2\)을 만족하는 양의 정수인 피타고라스 3쌍 \(a\), \(b\), \(c\)를 기록하여 놓았다.(이 중 가장 작은 세 쌍은 3, 4, 5이다.) 피타고라스 세 쌍에 대한 자세한 내용은 [X권 명제29]의 [보조정리 1]을 참고하여라.
프로클러스(Proclus)에 의하면, 원론에 주어진 이 명제의 구체적인 증명은 유클리드의 것이라고 한다. 오래된 증명들은 비례와 닮음 이론에 의존했을 가능성이 높고, 따라서 이 명제의 증명은 이러한 이론들을 다룬 원론 V권과 VI권 이후까지 미루어져야 할 것이다. 그러나 유클리드는 이 명제를 제 I권에 넣을 수 있도록 이 증명을 고안한 것으로 보인다.
유클리드는 [X권 명제 33]의 [보조정리 1]에서 비율과 닮음에 기반 한 증명을 제시한다. [I권 명제 47]과 [X권 명제 33]의 증명을 비교해 보아라.
[II권 명제 12]와 [II권 명제 13]은 직각삼각형 이외의 삼각형을 다루었다. [II권 명제 12]에서는 직각이 둔각으로, [II권 명제 13]은 직각이 예각으로 대체된 것이다. 이들 명제의 결과는 실제로 코사인 법칙의 기하학적 표현이다.
[VI권 명제 31]은 직각삼각형의 변에 놓을 수 있는 도형을 [I권 명제 47]의 세 정사각형 대신 세 개의 닮음도형으로 일반화 한 것이다.