I 권
명제
주어진 선분과 선분 위의 한 점을 지나고 선분에 수직인 선분을 그을 수 있다.
주어진 선분 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm C\)를 지나면서 직선 \(\rm AB\)에 수직인 선분을 그을 수 있다.
주어진 선분 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm C\)가 있다.
그러면 점 \(\rm C\)를 지나면서 직선 \(\rm AB\)에 수직인 선분을 그을 수 있음을 보이자.
선분 \(\rm AC\) 위에 임의의 한 점 \(\rm D\)를 잡는다.
\(\overline{\rm CD}=\overline{\rm CE}\)가 되도록 점 \(\rm D\)와 다른 점 \(\rm E\)를 선분 \(\rm E\) 위에 잡는다. [I권 명제3]
선분 \(\rm DE\)를 한 변으로 하는 정삼각형 \(\rm FDE\)를 작도한다. [I권 명제1]
선분 \(\rm FC\)를 그린다. [I권 공준1]
삼각형 \(\rm DCF\)와 \(\rm ECF\)에서 \(\overline{\rm CD}=\overline{\rm CE}\), \(\overline{\rm FC}\)는 공통이며, \(\overline{\rm DF}=\overline{\rm EF}\)이므로 삼각형 \(\rm DCF\)와 \(\rm ECF\)는 합동이다.(\(\triangle\rm DCF\equiv\triangle\rm ECF\), SSS합동) 그러므로 \(\angle\rm DCF=\angle\rm ECF\)이다. [I권 정의 20, 명제8]
선분 \(\rm AB\)에서 \(\angle\rm DCF\)와 \(\angle\rm ECF\)는 서로 이웃한 각이고 \(\angle\rm DCF=\angle\rm ECF\)이고, \(\angle\rm DCF+\angle\rm ECF=180^{\circ}\)이므로\(\angle\rm DCF=\angle\rm ECF=90^{\circ}\) 이다. [I권 정의10]
따라서 선분 \(\rm FC\)는 점 \(\rm C\)를 지나면서 선분 \(\rm AB\)에 수직인 선분이다.
그러므로 주어진 선분과 선분 위의 한 점을 지나고 선분에 수직인 선분을 그을 수 있다.
Q.E.D.
자와 컴퍼스로 주어진 선분의 수직인 선분의 실제 작도는 두 개의 정삼각형을 작도를 하여서 그릴 수 있다.
선분 \(\rm AB\) 위에 점 \(\rm C\)가 있다. 선분 \(\rm AC\) 위에 점 \(\rm D\)를 잡고, 중심이 점 \(\rm C\)이고 반지름이 \(\overline{\rm DC}\)인 원과 선분 \(\rm AB\)와의 교점을 점 \(\rm E\)라고 하자. 그러면 \(\overline{\rm DC}=\overline{\rm EC}\)이다.
중심이 점 \(\rm A\)이고 반지름이 \(\overline{\rm AE}\)인 원과 중심이 점 \(\rm B\)이고 반지름이 \(\overline{\rm BD}\)인 원과의 두 교점을 각각 점 \(\rm F\)와 \(\rm G\)라고 하자.
두 점 \(\rm F\)와 \(\rm G\)를 잊는 선분 \(\rm FG\)를 그리자. 그러면 선분 \(\rm FG\)는 점 \(\rm C\)를 지나고 선분 \(\rm AB\)와는 수직이다.