증명

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주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)에서 두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm AC\)의 길이가 두 선분 \(\rm DE\)와 \(\rm DF\)의 길이와 각각 같고 밑변인 나머지 두 선분 \(\rm BC\)와 \(\rm EF\)의 길이도 같다.

그러면 두 각 \(\rm BAC\)와 \(\rm EDF\)의 크기는 같음을 보이자.

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주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)에서 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm DF}\) 그리고 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\)이라고 하자.

선분 \(\rm BC\)를 선분 \(\rm EF\)에 일치하도록 포개어 놓자. 이때, 점 \(\rm B\)는 점 \(\rm E\)에 놓이게 되고, 밑변인 선분 \(\rm BC\)를 선분 \(\rm EF\)에 놓으면, \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\)이기 때문에 점 \(\rm C\)는 점 \(\rm F\)와 일치하게 된다.

따라서 선분 \(\rm BC\)가 선분 \(\rm EF\)와 일치하므로 두 선분 \(\rm BA\), \(\rm AC\)도 두 선분 \(\rm ED\), \(\rm DF\)에 각각 일치해야 한다. 왜냐하면 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)가 같은 방향으로 놓이도록 하고, 점 \(\rm A\)가 이동된 점이 점 \(\rm D\)와 일치하지 않고 점 \(\rm G\)에 포개어 진다고 하자. 그러면 두 선분 \(\rm DE\), \(\rm GE\)와 두 선분 \(\rm DF\), \(\rm GF\)로 밑변인 선분 \(\rm EF\)의 양 끝 점에서 \(\overline{\rm DE}=\overline{\rm GE}\), \(\overline{\rm DF}=\overline{\rm GF}\)이기 때문에 같은 방향으로 서로 다른 삼각형을 만드는 것은 불가능하다. [I권 명제 7]

따라서 밑변인 선분 \(\rm BC\)를 선분 \(\rm EF\)에 포개어 놓았을 때, 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm AC\)도 두 선분 \(\rm DE\), \(\rm DF\)에 각각 일치해야 한다. 따라서 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)는 합동(SSS합동)이므로 \(\angle\rm BAC=\angle\rm EDF\)이다. [I권 일반상식 4]

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그러므로 주어진 두 삼각형에서, 세 변의 길이가 같으면 대응하는 각(내각)들도 각각 같다.

Q.E.D.