I 권
정의
정의 22
‘정사각형’은 네 변의 길이가 모두 같고 네 각의 크기가 모두 직각인 사각형이다. ‘직사각형’은 네 각의 크기가 모두 직각인 사각형이다. ‘마름모’는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이다. ‘평행사변형’은 마주보는 두 변이 서로 평행하는 사각형이다. 평행사변형이 아닌 사각형을 ‘부등변사각형’이라 한다.
애플릿
직사각형
평행사변형
마름모
정사각형
부등변 사각형
부연설명
'원론'에서 유클리드가 실제로 사용하는 유일한 도형은 정사각형이다. 사각형의 다른 도형의 이름은 유클리드가 저술할 당시 일반적이었거나 이전 저자들에 의해서 '원론'에서 남겨졌을 수 있고 나중에 추가되었을 수도 있다.
생각해 보기
사각형 \(rm ABCD\)에서 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}=\overline{\rm CD}=\overline{\rm EF}\)이고, \(\rm\angle A=90^\circ\)이라고 하자.
그러면 \(\rm\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ\)임을 보이면 된다.
삼각형 \(\rm ABC\)는 \(\rm\angle A=90^\circ\)이고 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}\)인 이등변삼각형이다. 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같으므로 \(\rm\angle ABC=\angle ACB=45^\circ\)이다.
그리고 삼각형 \(\rm ABC\)와 삼각형 \(\rm DBC\)는 대응하는 세 변의 길이가 같아 합동이므로 대응하는 각의 크기가 같다. 따라서 \(\rm\angle D=\angle A=90^\circ\)이고, \(\rm\angle DBC=\angle ABC=45^\circ\), \(\rm\angle DCB=\angle ACB=45^\circ\)이다.
그러므로 \(\rm \angle B=\angle ABC+\angle DBC=90^\circ\), \(\rm \angle C=\angle ACB+\angle DCB=90^\circ\)이다.
따라서 사각형 \(\rm ABCD\)는 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}=\overline{\rm CD}=\overline{\rm EF}\)이고 \(\rm\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ\)이댜.
그러므로 사각형 \(\rm ABCD\)는 네 변의 길이가 같고 네 각의 크기가 같으므로 정의에 의하여 정사각형이다.
Q.E.D.