I 권
명제
주어진 한 점과 직선에 대하여, 그 점을 지나고 주어진 직선과 평행한 직선을 그을 수 있다.
주어진 점 \(\rm A\)와 그 점을 지나지 않는 직선 \(\rm BC\)에 대하여, 점 \(\rm A\)를 지나고 직선 \(\rm BC\)와 평행한 직선을 그릴 수 있다.
주어진 점 \(\rm A\)와 그 점을 지나지 않는 직선 \(\rm BC\)가 있다.
그러면, 점 \(\rm A\)를 지나고 직선 \(\rm BC\)와 평행한 직선을 그릴 수 있음을 보이자.
직선 \(\rm BC\) 위의 임의의 점을 \(\rm D\)를 잡자. [I권 공리 1]
두 점 \(\rm A\), \(\rm D\)의 선분 \(\rm AD\)를 긋자. \(\angle\rm DAE= \angle\rm ADC\)인 각 \(\rm DAE\)를 작도하자. [I권 명제 23]
직선 \(\rm EA\)를 긋고 점 \(\rm A\) 쪽 방향의 직선 \(\rm EA\) 위의 점 \(\rm F\)를 잡자. [I권 공리 2]
두 직선 \(\rm BC\)와 \(\rm EF\)와 직선 \(\rm AD\)가 만난서 만드는 엇각인 각 \(\rm DAE\)와 각 \(\rm ADC\)는 \(\angle\rm DAE = \angle\rm ADC\)이므로 직선 \(\rm BC\)와 직선 \(\rm EF\)는 평행하다.(\(\overleftrightarrow{BC}\parallel \overleftrightarrow{EF}\)) [I권 명제 27]
그러므로 주어진 한 점과 직선에 대하여, 그 점을 지나고 주어진 직선과 평행한 직선을 그을 수 있다.
Q.E.D.
이 명제에서 평행한 직선 \(\rm EF\)를 작도하는 것은 유일하게 점 \(\rm A\)를 지나는 것이다. 또 다른 평행한 직선이 있다면, 점 \(\rm A\)를 지나는 평행한 직선 두 개 중 어느 하나가 선분 \(\rm AD\)와 선분 \(\rm BC\)로 만들어지는 두 개의 내각(동측내각)의 합이 \(180^\circ\)보다 작을 것이다. 따라서 평행 공리 [I권 명제 5]에 의해서 직선 \(\rm BC\)와 만난다. 이것은 모순이다.
또한 이 작도는 쌍곡 기하에서도 적용되지만, 쌍곡 기하에서는 점 \(\rm A\)를 통한 평행선은 다른 점 \(\rm D\)에 지다는 평행선도 그릴 수 있다.
각을 작도 위해 필요한 명제는 [I권 명제 230이다. 각을 작도하기 위해서는 일반적으로 10개의 원과 1개의 직선이 필요하다. 그러나 이 명제처럼 특별한 경우에, 선분 중 하나는 이동하여 작도할 필요가 없어서 원 중 4개를 작도 할 필요가 없다. 따라서 이 명제의 작도는 실제로 6개의 원과 한 개의 선만 필요하다.