증명

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주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DBC\)에서 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm DBC\) 넓이)이고 밑변이 선분 \(\rm BC\)로 공통이고 같은 방향으로 놓여 있다.

그러면, 두 선분 \(\rm AD\)와 \(\rm BC\)는 평행하다는 것을 보이자.

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두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DBC\)에서 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm DBC\) 넓이)이고 밑변이 선분 \(\rm BC\)로 공통이고 같은 방향으로 놓여 있다고 하자.

선분 \(\rm AD\)를 그리자. [I권 공리 1]

직선 \(\rm AD\)와 \(\rm BC\)가 평행임을 보여야 한다. 두 선분 \(\rm AD\)와 \(\rm BC\)가 평행하지 않다고 하자. (\(\rm AD \not\parallel\rm BC\))

점 \(\rm A\)를 지나고 선분 \(\rm BC\)에 평행인 선분 \(\rm AE\)를 (\(\rm BC \parallel \rm AE\))그리고 선분 \(\rm EC\)를 그리자. [I권 명제 31, 공리 1]

두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DBC\)에서 공통 밑변 \(\rm BC\)가 같고 같은 꼭짓점이 동일한 평행선에 위에 있기 때문에 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm EBC\) 넓이)이다. [I권 명제 37]

그런데 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm DEBC\) 넓이)이므로 (삼각형 \(\rm EBC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm DBC\) 넓이)이다.

이것은 (삼각형 \(\rm EBC\) 넓이)\( < \)(삼각형 \(\rm DBC\) 넓이)에 모순이다. [I권 일반상식 1]

따라서 두 선분 \(\rm AE\)와 \(\rm BC\)는 평행하지 않다. (\(\rm AE \not\parallel\rm BC\))

같은 방법으로 선분 \(\rm AD\)를 제외한 어떤 선분도 선분 \(\rm BC\)와 평행할 수 없다.

그러므로 두 선분 \(\rm AD\)와 \(\rm BC\)는 평행하다. (\(\rm AD \parallel \rm BC\))

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그러므로 주어진 두 삼각형의 넓이가 같고 같은 영역에 있는 밑변이 공통이면, 밑변과 꼭짓점이 동일한 평행선 상에 있다.

Q.E.D.