I 권
명제
명제 4
주어진 두 삼각형의 두 변의 길이가 각각 같고, 그 두 변의 끼인각 크기가 각각 같으면 두 삼각형은 합동이다. 따라서 나머지 두 각의 크기도 각각 같고, 나머지 한 변의 길이도 같다. 다시 말하면 합동이면 나머지 대응하는 변의 길이와 대응하는 각의 크기가 각각 같다.
주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)에서 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm EF}\)이고 \(\rm\angle BAC=\angle EDF\)이면 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)은 합동이다. 따라서 나머지 변들과 각들도 같다. 즉, \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\)이고 \(\rm\angle CBA=\angle FED\), \(\rm\angle ACB=\angle DFE\)이다.
애플릿
증명
주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)은 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm DF}\), \(\angle \rm BAC =\angle \rm EDF \)이다.
그러면 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)이 합동임을 보여야 한다.
주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)은 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm DF}\), \(\angle \rm BAC =\angle \rm EDF \)이다.
삼각형 \(\rm ABC\)를 옮겨서 삼각형 \(\rm DEF\) 위에 겹쳐 놓아라. 이때 점 \(\rm A\)는 점 \(\rm D\)에 겹쳐 놓고, 선분 \(\rm AB\)는 선분 \(\rm DE\) 위에 겹쳐 놓는다. 그러면 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\) 이기 때문에 점 \(\rm B\)는 점 \(\rm E\)와 겹쳐지게 되어 일치한다.
선분 \(\rm AB\)는 선분 \(\rm DE\) 위에 겹쳐져 있고, \(\angle \rm BAC=\angle \rm EDF\)이므로 선분 \(\rm AC\)는 선분 \(\rm DF\)가 겹쳐진다. 또한 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm DF}\)이므로 점 \(\rm C\)는 점 \(\rm F\)와 겹쳐지게 되어 일치한다.
만약 \(\rm B\)점 와 점 \(\rm E\)가 일치하고, 점 \(\rm C\)와 점 \(\rm F\)가 일치하는데, 선분 \(\rm BC\)와 선분 \(\rm EF\)가 일치하지 않는다고 가정하자. 그러면 두 선분이 넓이를 갖는 영역을 둘러싼다. 이것은 불가능하다. 따라서 선분 \(\rm BC\)는 선분 \(\rm EF\)와 겹치지게되어 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\)이다. [I권 일반상식4]
따라서 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)는 겹쳐지고 따라서 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)은 합동이다. [I 권 일반상식4]
그리고 나머지 각들도 겹쳐진다. 즉, 각 \(\rm ABC\)은 각 \(\rm DEF\)와 겹쳐지고, 각 \(\rm ACB\)은 각\(\rm DFE\)와 겹쳐진다. 따라서 \(\angle \rm ABC = \angle \rm DEF\), \(\angle \rm ACB = \angle \rm DFE\)이다.
그러므로 주어진 두 삼각형의 두 변의 길이가 각각 같고, 그 두 변의 끼인각의 크기가 각각 같으면 두 삼각형은 합동이다. 따라서 나머지 두 각의 크기도 각각 같고, 나머지 한 변의 길이도 같다. 다시 말하면 합동이면 대응하는 변의 길이와 대응하는 각의 크기가 각각 같다.
Q.E.D.
정당화 애플릿
부연설명
이것은 삼각형에 대한 합동(변-각-변 합동, SAS합동) 중 첫 번째이다. 유클리드는 합동의 개념을 명시적으로 사용하지 않았지만 설명을 약간 단순화하였다. 합동의 정의에는 이 명제의 가정과 결론을 포함한다.
즉, 세 각 \(\rm A\), \(\rm B\), \(\rm C\)가 세 각 \(\rm D\), \(\rm E\), \(\rm F\)의 크기가 각각 \(\angle\rm A=\angle\rm D\), \(\angle\rm B=\angle\rm E\), \(\angle\rm C=\angle\rm F\)이고, 세 변 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm CA\)가 세 변 \(\rm DE\), \(\rm EF\), \(\rm FD\)의 길이가 각각 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\), \(\overline{\rm CA}=\overline{\rm FD}\)이면 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)는 합동이다. 따라서 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)의 넓이가 같다.
간단한 질문
1.이 명제는 몇 개의 가정을 가지고 있는가? 이 가정들을 쓰시오. 답) 3개
2.이 명제는 몇 개의 결론을 가지고 있는가? 이 결론들을 쓰시오.
3.위치를 제외한 모든 것들이 일치하는 도형에는 어떤 기술 용어가 쓰이는가? 답) 일치한다.(congruent)
4.겹쳐놓기의 의미는 무엇인가?
5.겹쳐놓기에 필요한 공리는 무엇인가?
6.삼각형에는 몇 개의 부분들이 존재하는가? 답) 세 개의 변과 세 개의 각
7.두 삼각형이 합동이라는 것을 증명해야 할 때, 한 삼각형의 몇 개의 부분이 다른 삼각형의 해당 부분과 동일해야 하는가? 답) 일반적으로 세 각을 제외한 세 개이다. 이것은 [I권 명제 4]와 함께 [I권 명제 8]와 [I권 명제 24]에서 확립한다.
8.두 개의 공통점을 가진 두 개 선분의 어떤 성질이 이 명제에 인용되었는가? 그것들은 일치해야 한다.
연습문제
다음 명제들을 증명하시오.
1.이등변삼각형의 밑변에 있지 않은 꼭짓점의 각을 이등분하는 각이등분선은 밑변을 수직이등분한다.
2.사각형의 인접한 두 변이 같고 대각선이 그 두 변 사이의 각을 이등분한다면, 나머지 변의 길이도 같다.
3.두 선분이 직각으로 만나고 한 선분이 다른 선분을 서로 이등분한다면, 어느 선분의 두 점 중 어느 한 점은 다른 한 선분의 두 끝 점과의 거리가 같다.
4.정삼각형을 어떤 삼각형의 변으로 설명한다면, 원래 삼각형의 꼭짓점과 정삼각형의 반대쪽 꼭짓점 사이의 거리는 같다.(이 명제는 [I권 명제 32]를 학습한 후에 증명해야 한다.)
생각해 보기
이 명제는 "두 선분은 어떤 넓이를 둘러쌀 수 없다" 명제와 "두 선분은 어떤 선분을 공유할 수 없다"는 명제가 필요하다.