I 권
명제
주어진 선분 위의 한 끝점에서 두 선분을 서로 다른 방향으로 그리면 그들이 만드는 두 개의 이웃한 각의 합이 두 개의 직각과 같다. 즉, 두 선분은 한 직선에 놓인다.
주어진 직선 \(\rm AB\)에 같은 영역에 있지 않은 두 점 \(\rm C\), \(\rm D\)에 대하여, 직선 \(\rm AB\) 위의 한 점 \(\rm B\)에서 같은 쪽으로 있지 않은 두 직선 \(\rm BC\), \(\rm BD\)가 주어진 직선 \(\rm AB\)과 이루는 각의 합이 \(180^{\circ}\)라면 두 직선 \(\rm BC\), \(\rm BD\)는 일직선 상에 있다.
주어진 직선 \(\rm AB\)에 같은 영역에 있지 않은 두 점 \(\rm C\), \(\rm D\)에 대하여, 직선 \(\rm AB\) 위의 한 점 \(\rm B\)에서 같은 쪽으로 있지 않은 두 직선 \(\rm BC\), \(\rm BD\)가 주어진 직선 \(\rm AB\)과 이루는 각의 합이 \(180^{\circ}\)이라고 하자.
두 직선 \(\rm BC\), \(\rm BD\)는 일직선 상에 있음을 보이자.
주어진 직선을 직선 \(\rm AB\)라고 하자. 두 점 \(\rm C\), \(\rm D\)는 직선 \(\rm AB\)에 다른 영역에 있다고 하자.
그리고 두 선분 \(\rm BC\)와 \(\rm BD\)가 일직선에 있지 않다고 하자. [I권 공리 2]
점 \(\rm E\)가 점 \(\rm D\)와 같은 영역에 있으면서 선분 \(\rm BE\)와 선분 \(\rm BC\)가 같은 직선상에 있다고 하자.
그러면 선분\(\rm BC\)와 선분 \(\rm BE\)가 같은 직선상에 있으므로 \(\angle\rm ABC+\angle\rm ABE=180^{\circ}\)이다. [I권 명제13]
\(\angle\rm ABC+\angle\rm ABD=180^{\circ}\)이므로 \(\angle\rm ABC+\angle\rm ABE=\angle\rm ABC+\angle\rm ABD\)이다. [I권 공리4, 상식1]
\(\angle\rm ABC+\angle\rm ABE-\angle\rm ABC=\angle\rm ABC+\angle\rm ABD-\angle\rm ABC\)
\(\angle\rm ABE = \angle\rm ABD이다. [I권 상식3]\)
그러므로 직선 \(\rm BE\)는 직선 \(\rm CB\)가 아니다. 이는 모순이다.
유사하게 직선 \(\rm BD\)를 제외한 다른 직선이 없다는 것을 증명할 수 있다.
따라서 선분 \(\rm DB\)와 선분 \(\rm BC\)는 일직선에 놓여있다.
그러므로 주어진 선분 위의 한 끝점에서 두 선분을 서로 다른 방향으로 그리면 그들이 만드는 두 개의 이웃한 각의 합이 두 개의 직각과 같다. 즉, 두 선분은 한 직선에 놓인다.
Q.E.D.
이 정리는 네 점 \(\rm A\), \(\rm B\), \(\rm C\), \(\rm D\)가 같은 평면 위에 있지 않으면 선 \(\rm CBD\)는 직선이 되지 않는다. 선 \(\rm AB\)에 나누어지는 영역에 대해 다루려면 주변에 평면이 필요하다.
증명 끝 부분에 있는 문장인 “유사하게 직선 \(\rm BD\)를 제외한 다른 직선이 없다는 것을 증명할 수 있다.”는 것은 점 \(\rm E\)가 각 \(\rm ABD\) 내부에 있지 않은 경우를 주의 있게 다루기 위한 것이다.