I 권
명제
주어진 삼각형에서 더 긴 변의 마주 보는 대각의 크기도 크다.
주어진 삼각형 \(\rm ABC\)에서 변 \(\rm AC\)의 길이가 변 \(\rm AB\) 보다 길면, 변 \(\rm AC\)의 대각인 각 \(\rm ABC\)가 변 \(\rm AB\)의 대각인 각 \(\rm BCA\) 보다 크다.
주어진 삼각형 \(\rm ABC\)에서 변 \(\rm AC\)의 길이가 변 \(\rm AB\) 보다 길다.
그러면, 변 \(\rm AC\)의 대각인 각 \(\rm ABC\)가 변 \(\rm AB\)의 대각인 각 \(\rm BCA\) 보다 크다는 것을 보이자.
삼각형 \(\rm ABC\)에서 \(\overline{\rm AC}> \overline{\rm AB}\)이라고 하자.
변 \(\rm AC\)위에 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AD}\)가 되도록 점 \(\rm D\)를 잡는다. [I권 명제 3]
그러면,
\(\angle\rm ADB> \angle\rm ACB\) \(\cdots\)① [I권 명제 16]
\(\angle\rm ABD= \angle\rm ADB\) \(\cdots\)② [I권 명제 5]
\(\angle\rm ABC> \angle\rm ABD\) \(\cdots\)③ [상식 5]
이므로 ①, ②, ③에 의하여 \(\angle\rm ABC> \angle\rm ACB\)이다
그러므로 삼각형에서 더 긴 변의 마주 보는 대각의 크기도 크다.
Q.E.D.
[I권 명제 18]은 “모든 삼각형에서 큰 변은 큰 대각을 갖는다.”와 [I권 명제 19]는 “모든 삼각형에서, 큰 각은 큰 변을 갖는다.”는 데이터가 먼저 나온다는 것을 이해하지 못하면 이 두 문장은 논리적으로 동일하다.