I 권
명제
주어진 직선과 직선 위에 있지 않은 임의의 한 점에서 직선에 수직선을 그을 수 있다.
직선 \(\rm AB\)와 직선 \(\rm AB\) 위에 있지 않은 점 \(\rm C\)가 있다고 하면, 점 \(\rm C\)를 지나면서 직선 \(\rm AB\)에 수직인 직선(수직선)을 그을 수 있다.
직선 \(\rm AB\)와 직선 \(\rm AB\) 위에 있지 않은 점 \(\rm C\)가 있다고 하자.
그러면 점 \(\rm C\)를 지나면서 직선 \(\rm AB\)에 수직인 직선(수직선)을 그을 수 있음을 보이자.
직선 \(\rm AB\)에 대하여 점 \(\rm C\)와 반대 영역에 있도록 임의의 한 점 \(\rm D\)를 잡자.
점 \(\rm C\)를 중심으로 하고, \(\overline{\rm CD}\)를 반지름으로 하는 원 \(c\)을 작도한다. [I권 공리3]
이 원 \(c\)과 직선 \(\rm AB\)가 만나는 두 점을 점 \(\rm E\), \(\rm F\)라 하자.
선분 \(\rm EF\)를 이등분하는 점 \(\rm G\)를 잡는다. [I권 명제10]
세 선분 \(\rm CE\), \(\rm CF\), \(\rm CG\)를 작도한다. [I권 공리1]
삼각형 \(\rm CEG\)와 \(\rm CFG\)에서 \(\overline{\rm CE}=\overline{\rm CF}\)이고, \(\overline{\rm CG}\)는 공통이며, \(\overline{\rm CE}\)와 \(\overline{\rm CF}\)는 같은 원 \(c\)의 반지름이어서 \(\overline{\rm CE}=\overline{\rm CF}\)이다. 그러므로 삼각형 \(\rm CEG\)와 \(\rm CFG\)는 합동이다. (\(\triangle\rm CEG \equiv \triangle\rm CFG\), SSS합동) 따라서 \(\angle\rm CGE=\angle\rm CGF\)이다. [I권 명제8]
직선 \(\rm AB\)에서 \(\angle\rm CGE\)와 \(\angle\rm CGF\)는 서로 이웃한 각이고, \(\angle\rm CGE + \angle\rm CGF=180^{\circ}\)이므로 \(\angle\rm CGE = \angle\rm CGF=90^{\circ}\)이다. [I권 정의10]
그러므로 점 \(\rm C\)에서 직선 \(\rm AB\)로 그은 직선 \(\rm CG\)는 직선 \(\rm AB\)에 수직이다.
그러므로 주어진 직선과 직선 위에 있지 않은 임의의 한 점에서 직선에 수직선을 그을 수 있다.
Q.E.D.
정삼각형의 작도가 다시 사용되었다. 이번에는 선분 \(\rm EG\)에 수직인 것이 다른점이다. 점 \(\rm D\)는 점 \(\rm C\)와 다른 영역에서 잡는다. 중심이 점 \(\rm C\)이고 \(\overline{\rm CD}\)를 반지름으로 하는 원을 원 \(c\)라고 하자.
원 \(c\)와 선분 \(\rm AB\)는 서로 다른 두 점 \(\rm E\), \(\rm f\)에서 만나야 한다. 만약 점 \(\rm D\)가 직선 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm G\)라고 한다면 원 \(c\)와 선분 \(\rm AB\)는 점 \(\rm G\)에서 접하게 된다.(한 점에서 만나게 된다.) 이 점 \(\rm D\)가 점 \(\rm C\)와 같은 영역에 속한다면 원 \(c\)과 직선 \(\rm AB\)는 만나지 않게 되어 원하는 결론을 얻을 수 없다.