증명

주어진 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 한 직선 \(\rm EF\)와 각각 \(\rm G\), \(\rm F\)에서 만나고 (1) 한 외각 \(\rm EGB\)과 동위각 \(\rm GHD\)이 같거나, (2) 동측내각 \(\rm BGH\)와 \(\rm GHD\)의 합이 \(180^\circ\)이다.

그러면, 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 평행하다는 것을 보이자.

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(1) 한 외각 \(\rm EGB\)과 동위각 \(\rm GHD\)의 크기가 \(\angle\rm EGF=\angle\rm GHD\)인 경우

각 \(\rm EGB\)와 \(\rm AGH\)는 맞꼭지각이므로 \(\angle\rm EGB=\angle\rm AGH\)이다. [I권 명제 15]

또한 \(\angle\rm EGF=\angle\rm GHD\)이므로 \(\angle\rm GHD=\angle\rm AGH\)이다. [상식 1]

두 엇각 \(\rm AGH\)와 \(\rm GHD\)에 대하여 \(\angle\rm AGH=\angle\rm GHD\)이므로 직선 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)는 평행이다.(\(\overleftrightarrow{\rm AB}\parallel \overleftrightarrow{\rm CD}\)) [I권 명제 27]

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(2) 동측내각 \(\rm BGH\)와 \(\rm GHD\)의 크기의 합이 \(\angle\rm BGH+\angle\rm GHD=180^\circ\)인 경우

\(\angle\rm AGH+\angle\rm BGH=180^\circ\)이다. [I권 명제 13]

또한 \(\angle\rm BGH+\angle\rm GHD=180^\circ\)이므로, \(\angle\rm AGH+\angle\rm BGH=\angle\rm BGH+\angle\rm GHD\)이다. [I권 상식 1]

양 변에서 \(\angle\rm BGH\)를 빼면, \(\angle\rm GHD=\angle\rm AGH\)이다. [I권 일반상식 3]

두 엇각 \(\rm AGH\)와 \(\rm GHD\)가 \(\angle\rm AGH=\angle\rm GHD\)이므로 직선 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)는 평행이다. (\(\overleftrightarrow{\rm AB}\parallel \overleftrightarrow{\rm CD}\)) [I권 명제 27]

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그러므로 주어진 두 직선과 어떤 직선이 만나도록 그려서 외각이 같은 방향에 있는 다른 내각과 크기가 같거나 또는 같은 방향에 있는 두 내각의 합이 이면 주어진 두 직선은 서로 평행하다.

Q.E.D.