Proposition 27 of Book I

주어진 두 직선에 어떤 직선이 만나도록 그려서 만들어진 두 엇각이 같으면 주어진 두 직선은 평행하다.

주어진 두 직선 $A B$ , $C D$ 와 한 직선 $l$ 이 각각 만나는 교점 $E$ , $F$ 에서 엇각 $A E F$ 와 $E F D$ (또는 엇각 $B E F$ 와 $C F E$ )의 크기가 같으면, 두 직선 $A B$ , $C D$ 는 평행이다.

주어진 두 직선 $A B$ , $C D$ 와 한 직선 $l$ 이 각각 만나는 교점 $E$ , $F$ 에서 엇각 $A E F$ 와 $E F D$ (또는 엇각 $B E F$ 와 $C F E$ )의 크기가 같다.

그러면, 두 직선 $A B$ , $C D$ 는 평행이다는 것을 보이자.

두 직선 $A B$ , $C D$ 가 한 직선 $l$ 과 만나는 점을 각각 점 $E$ , $F$ 라 하고, 엇각 $A E F$ 와 $E F D$ 에 대하여 $∠ A E F = ∠ E F D$ 이라고 하자.

두 직선 $A B$ , $C D$ 가 가 평행하지 않다고 가정하자.

두 직선 $A B$ , $C D$ 는 점 $B$ , $D$ 방향 또는 점 $A$ , $C$ 방향에서 만난다. [I권 정의 23]

점 $B$ , $D$ 방향에서 만난다고 할 때 그 교점을 $G$ 라 하면, 삼각형 $G E F$ 에서 외각 $A E F$ 와 내각 $E F D$ 에 대하여 $∠ A E F = ∠ E F D$ 이다. [가정]

이것은 모순이다. [I권 명제 16]

따라서 두 직선 $A B$ , $C D$ 는 점 $B$ , $D$ 방향에서 만날 수 없다.

같은 방법에 의하여 점 $A$ , $C$ 방향에서도 만날 수 없다.

따라서 두 직선 $A B$ , $C D$ 는 양쪽 어디에서도 만날 수 없으므로 평행하다. [I권 정의 23]

그러므로 주어진 두 직선에 어떤 직선이 만나도록 그려서 만들어진 두 엇각이 같으면 주어진 두 직선은 평행하다.

Q.E.D.

암묵적으로 종이 주변에 평면이 있다고 가정한다. 엇각이라는 용어는 직선이 모두 같은 평면에 있지 않는 한 의미가 없다. 유클리드는 두 선이 만나는 다른 두 가지 방법, 즉 점 $A$ 와 $D$ 방향 또는 $B$ 와 $C$ 방향에서 만나는 것을 고려하지 않았다.