I 권
명제
주어진 두 직선에 어떤 직선이 만나도록 그려서 만들어진 두 엇각이 같으면 주어진 두 직선은 평행하다.
주어진 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)와 한 직선 \(l\)이 각각 만나는 교점 \(\rm E\), \(\rm F\)에서 엇각 \(\rm AEF\)와 \(\rm EFD\)(또는 엇각 \(\rm BEF\)와 \(\rm CFE\))의 크기가 같으면, 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 평행이다.
주어진 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)와 한 직선 \(l\)이 각각 만나는 교점 \(\rm E\), \(\rm F\)에서 엇각 \(\rm AEF\)와 \(\rm EFD\)(또는 엇각 \(\rm BEF\)와 \(\rm CFE\))의 크기가 같다.
그러면, 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 평행이다는 것을 보이자.
두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 한 직선 \(l\)과 만나는 점을 각각 점 \(\rm E\), \(\rm F\)라 하고, 엇각 \(\rm AEF\)와 \(\rm EFD\)에 대하여 \(\angle\rm AEF = \angle\rm EFD\)이라고 하자.
두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 가 평행하지 않다고 가정하자.
두 직선\(\rm AB\), \(\rm CD\)는 점 \(\rm B\), \(\rm D\) 방향 또는 점 \(\rm A\), \(\rm C\) 방향에서 만난다. [I권 정의 23]
점 \(\rm B\), \(\rm D\) 방향에서 만난다고 할 때 그 교점을 \(\rm G\)라 하면, 삼각형 \(\rm GEF\)에서 외각 \(\rm AEF\)와 내각 \(\rm EFD\)에 대하여 \(\angle\rm AEF = \angle\rm EFD\)이다. [가정]
이것은 모순이다. [I권 명제 16]
따라서 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 점 \(\rm B\), \(\rm D\) 방향에서 만날 수 없다.
같은 방법에 의하여 점 \(\rm A\), \(\rm C\) 방향에서도 만날 수 없다.
따라서 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 양쪽 어디에서도 만날 수 없으므로 평행하다. [I권 정의 23]
그러므로 주어진 두 직선에 어떤 직선이 만나도록 그려서 만들어진 두 엇각이 같으면 주어진 두 직선은 평행하다.
Q.E.D.
암묵적으로 종이 주변에 평면이 있다고 가정한다. 엇각이라는 용어는 직선이 모두 같은 평면에 있지 않는 한 의미가 없다. 유클리드는 두 선이 만나는 다른 두 가지 방법, 즉 점 \(\rm A\)와 \(\rm D\) 방향 또는 \(\rm B\)와 \(\rm C\) 방향에서 만나는 것을 고려하지 않았다.