I 권
명제
평행한 두 직선과 교점이 생기도록 어떤 직선을 그리면, 엇각의 크기는 서로 같고, 동위각의 크기도 서로 같고, 같은 방향에 있는 두 내각의 합은 직각의 두 배이다.
한 평면 위에 있는 평행한 두 직선
한 평면 위에 있는 평행한 두 직선
그러면, (1) 엇각인 각
엇각인 각
그러므로 두 직선
그런데 두 직선
따라서
(2) 동위각인 각
각
이 때 각
따라서
(3) 같은 방향에 있는 두 내각(동측내각)인 각
그런데
그러므로 평행한 두 직선과 교점이 생기도록 어떤 직선을 그리면, 엇각의 크기는 서로 같고, 동위각의 크기도 서로 같고, 같은 방향에 있는 두 내각의 합은 직각의 두 배이다.
Q.E.D.
이 명제의 증명에는 세 부분의 결론은 즉 [I권 명제27]의 역과 [I권 명제 28]의 역 2개이다. 이들 명제에서 마찬가지로 주변 평면이 이 세 직선을 모두 포함하는 것을 가정한다. 이것은 평행 가정에 의존하는 첫 번째 명제이다. 따라서 쌍곡선 기하에서는 이러한 성질을 유지하지 않는다.