증명

---

한 평면 위에 있는 평행한 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 직선 \(\rm EF\)와 각각 점 \(\rm G\), \(\rm H\)에서 만난다.

그러면, (1) 엇각인 각 \(\rm AGH\)와 각 \(\rm GHD\)의 크기는 서로 같고, (2) 동위각인 각 \(\rm EGB\)와 각 \(\rm GHD\)의 크기는 서로 같고, (3) 같은 방향에 있는 두 내각(동측내각)인 각 \(\rm BGH\)와 각 \(\rm GHD\)의 합은 \(180^\circ\)임을 보이자.

---

엇각인 각 \(\rm AGH\)와 각 \(\rm GHD\)에 대하여 \(\angle\rm AGH \ne \angle\rm GHD \)라 가정하자. 일반성을 잃지 않고 \(\angle\rm AGH > \angle\rm GHD\)라고 하자.

\(\angle\rm AGF + \angle\rm BGH > \angle\rm GHD + \angle\rm BGH\), \(\angle\rm AGH + \angle\rm BGH=180^\circ\)이므로, \(\angle\rm GHD + \angle\rm BGH < 180^\circ\)이다. [I권 명제13]

그러므로 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)를 점 \(\rm B\)와 \(\rm D\) 방향으로 연장하면 그 방향에서 만난다. [I권 공리 5]

그런데 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 평행하다고 가정하였으므로 서로 만날 수 없다.

따라서 \(\angle\rm AGH = \angle\rm GHD\)이다.

(2) 동위각인 각 \(\rm EGB\)와 각 \(\rm GHD\)에 대하여 증명하여 보자.

각 \(\rm AGH\)와 각\(\rm EGB\)는 맞꼭지각이므로 \(\angle\rm AGH=\angle\rm EGB\)이다. [I권 명제15]

이 때 각 \(\rm AGH\)와 각 \(\rm GHD\)는 엇각이므로 \(\angle\rm AGH = \angle\rm GHD\)이다.

따라서 \(\angle\rm EGB= \angle\rm GHD\)이다. [I권 상식1]

(3) 같은 방향에 있는 두 내각(동측내각)인 각 \(\rm BGH\)와 각 \(\rm GHD\)에 대하여 증명하여 보자.

\(\angle\rm EGB=\angle\rm GHD\)이므로 \(\angle\rm EGB+\angle\rm BGH = \angle\rm GHD + angle\rm BGH \)이다. [상식2]

그런데 \(\angle\rm EGB+\angle\rm BGH = 180^\circ\)이므로 \(\angle\rm GHD + angle\rm BGH=180^\circ\)이다.

---

그러므로 평행한 두 직선과 교점이 생기도록 어떤 직선을 그리면, 엇각의 크기는 서로 같고, 동위각의 크기도 서로 같고, 같은 방향에 있는 두 내각의 합은 직각의 두 배이다.

Q.E.D.