Proposition 29 of Book I

명제 29

평행한 두 직선과 교점이 생기도록 어떤 직선을 그리면, 엇각의 크기는 서로 같고, 동위각의 크기도 서로 같고, 같은 방향에 있는 두 내각의 합은 직각의 두 배이다.

한 평면 위에 있는 평행한 두 직선 $A B$ , $C D$ 가 직선 $E F$ 와 각각 점 $G$ , $H$ 에서 만나면, (1) 엇각인 각 $A G H$ 와 각 $G H D$ 의 크기는 서로 같고, (2) 동위각인 각 $E G B$ 와 각 $G H D$ 의 크기는 서로 같고, (3) 같은 방향에 있는 두 내각(동측내각)인 각 $B G H$ 와 각 $G H D$ 의 합은 $180^{\circ}$ 이다.

증명

한 평면 위에 있는 평행한 두 직선 $A B$ , $C D$ 가 직선 $E F$ 와 각각 점 $G$ , $H$ 에서 만난다.

그러면, (1) 엇각인 각 $A G H$ 와 각 $G H D$ 의 크기는 서로 같고, (2) 동위각인 각 $E G B$ 와 각 $G H D$ 의 크기는 서로 같고, (3) 같은 방향에 있는 두 내각(동측내각)인 각 $B G H$ 와 각 $G H D$ 의 합은 $180^{\circ}$ 임을 보이자.

엇각인 각 $A G H$ 와 각 $G H D$ 에 대하여 $∠ A G H \neq ∠ G H D$ 라 가정하자. 일반성을 잃지 않고 $∠ A G H > ∠ G H D$ 라고 하자.

$∠ A G F + ∠ B G H > ∠ G H D + ∠ B G H$ , $∠ A G H + ∠ B G H = 180^{\circ}$ 이므로, $∠ G H D + ∠ B G H < 180^{\circ}$ 이다. [I권 명제13]

그러므로 두 직선 $A B$ , $C D$ 를 점 $B$ 와 $D$ 방향으로 연장하면 그 방향에서 만난다. [I권 공리 5]

그런데 두 직선 $A B$ , $C D$ 가 평행하다고 가정하였으므로 서로 만날 수 없다.

따라서 $∠ A G H = ∠ G H D$ 이다.

(2) 동위각인 각 $E G B$ 와 각 $G H D$ 에 대하여 증명하여 보자.

각 $A G H$ 와 각 $E G B$ 는 맞꼭지각이므로 $∠ A G H = ∠ E G B$ 이다. [I권 명제15]

이 때 각 $A G H$ 와 각 $G H D$ 는 엇각이므로 $∠ A G H = ∠ G H D$ 이다.

따라서 $∠ E G B = ∠ G H D$ 이다. [I권 상식1]

(3) 같은 방향에 있는 두 내각(동측내각)인 각 $B G H$ 와 각 $G H D$ 에 대하여 증명하여 보자.

$∠ E G B = ∠ G H D$ 이므로 $∠ E G B + ∠ B G H = ∠ G H D + a n g l e B G H$ 이다. [상식2]

그런데 $∠ E G B + ∠ B G H = 180^{\circ}$ 이므로 $∠ G H D + a n g l e B G H = 180^{\circ}$ 이다.

그러므로 평행한 두 직선과 교점이 생기도록 어떤 직선을 그리면, 엇각의 크기는 서로 같고, 동위각의 크기도 서로 같고, 같은 방향에 있는 두 내각의 합은 직각의 두 배이다.

Q.E.D.

명제 29

증명

부연설명