I 권
명제
삼각형에서 어떤 두 내각을 더해도 \(180^{\circ}\) 보다 작다.
삼각형 \(\rm ABC\)에서 어떤 두 내각의 합은 \(180^{\circ}\)보다 작다.
주어진 삼각형 \(\rm ABC\)가 있다.
그러면, 삼각형에서 어떤 두 내각을 더해도 \(180^{\circ}\) 보다 작다는 것을 보이자.
삼각형 \(\rm ABC\)에서 반직선 \(\rm BC\)를 그린다.
선분 \(\rm BC\) 내부 점이 아닌 반직선 \(\rm BC\) 위의 점 \(\rm D\)를 잡는다. [I권 명제2]
삼각형 \(\rm ABC\)에서 \(\angle \rm ACD\)는 외각이고 \(\angle\rm ABC\)는 내각이므로 \(\angle\rm ACD>\angle\rm ABC\)이다. [I권 명제 16, 일반상식]
그러므로 \(\angle\rm ABC+\angle\rm ACD < \angle\rm ACD+\angle\rm ACB\)이다. \(\cdots\cdots\)①
또한,\(\angle\rm ACD+\angle\rm ACB=180^{\circ}\)이다. \(\cdots\cdots\)②
①과 ②에 의하여 \(\angle\rm ABC+\angle\rm ACB< 180^{\circ}\)이다. [I권 명제 13]
같은 방법으로 \(\angle\rm BAC+\angle\rm ACB< 180^{\circ}\), \(\angle\rm CAB+\angle\rm ABC < 180^{\circ}\)임을 보일 수 있다.
그러므로 삼각형에서 어떤 두 내각을 더해도 \(180^{\circ}\) 보다 작다.
Q.E.D.
증명 중간에 ‘삼각형 \(\rm ABC\)에서 \(\angle \rm ACD\)는 외각이고 \(\angle\rm ABC\)는 내각이므로 \(\angle\rm ACD>\angle\rm ABC\)이다.’의 부분은 실수에 대한 성질인 ‘임의의 실수 \(z\)에 대하여, \(x>y\)이면 \(x+z>y+z\)이다.’을 사용한 것인데 이는 일반상식에는 있지 않는 성질이다.