증명

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주어진 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$가 있다.

그러면, 삼각형에서 어떤 두 내각을 더해도 ${180}^{\circ }$ 보다 작다는 것을 보이자.

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삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$에서 반직선 $\mathrm{B}\mathrm{C}$를 그린다.

선분 $\mathrm{B}\mathrm{C}$ 내부 점이 아닌 반직선 $\mathrm{B}\mathrm{C}$ 위의 점 $\mathrm{D}$를 잡는다. [I권 명제2]

삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$에서 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}$는 외각이고 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$는 내각이므로 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}>\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$이다. [I권 명제 16, 일반상식]

그러므로 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}+\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}<\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}+\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}$이다. $\cdots \cdots$①

또한,$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}+\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}={180}^{\circ }$이다. $\cdots \cdots$②

①과 ②에 의하여 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}+\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}<{180}^{\circ }$이다. [I권 명제 13]

같은 방법으로 $\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}+\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}<{180}^{\circ }$, $\mathrm{\angle }\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{B}+\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}<{180}^{\circ }$임을 보일 수 있다.

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그러므로 삼각형에서 어떤 두 내각을 더해도 ${180}^{\circ }$ 보다 작다.

Q.E.D.