I 권
명제
주어진 두 변이 그 길이가 같고 평행하면, 이들 변의 양 끝 점을 동일한 방향에 있는 점들을 선분으로 그리면 이 선분들의 길이도 같고 평행하다.
주어진 두 변 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)가 그 길이가 같고 평행하면, 두 점 \(\rm A\)와 \(\rm C\), 두 점 \(\rm B\)와 \(\rm D\)를 이은 두 변 \(\rm AC\)와 \(\rm BD\)는 길이가 같고 평행하다.
주어진 두 변 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)는 그 길이가 같고 평행하다.
그러면, 두 점 \(\rm A\)와 \(\rm C\), 두 점 \(\rm B\)와 \(\rm D\)를 이은 두 변 \(\rm AC\)와 \(\rm BD\)는 길이가 같고 평행하다는 것을 보이자.
대각선 \(\rm BC\)를 작도하자. [I권 공리 1]
두 변 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)가 평행하고(\(\overline{\rm AB}\parallel\overline{\rm CD}\)), 변 \(\rm BC\)가 두 변 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)와 만나므로 \(\angle\rm ABC = \angle\rm BCD\)이다. [I권 명제29]
두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm BCD\)에서 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD}\)이고 변 \(\rm BC\)가 공통이기 때문에 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DC}\)이고 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm CB}\)이다. 그리고 \(\angle\rm ABC = \angle\rm BCD\)이므로 \(\overline{\rm ACB}=\overline{\rm DB}\)이다. 따라서 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm BCD\)는 합동이다.(\(\triangle\rm ABC \equiv \triangle\rm BCD\), SSS 합동)
그러므로 남아있는 맞은편의 각각의 각도 같다. 즉, \(\angle\rm ACB = \angle\rm CBD\)이다. [I권 명제4]
또한 두 변 \(\rm AC\)와 \(\rm BD\)를 가로지르는 변 \(\rm BC\)가 만드는 각 \(\rm ACB\)와 각 \(\rm CBD\)는 엇각으로 \(\angle\rm ACB = \angle\rm CBD\)이다. 그러므로 두 변 \(\rm AC\)와 \(\rm BD\)는 평행하다.(\(\overline{\rm AC}\parallel\overline{\rm BD}\)) [I권 명제27]
그러므로 주어진 두 변이 그 길이가 같고 평행하면, 이들 변의 양 끝 점을 동일한 방향에 있는 점들을 선분으로 그리면 이 선분들의 길이도 같고 평행하다.
Q.E.D.
이 명제의 증명에서 ‘동일한 방향으로’ 단어는 두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)가 선분의 끝점에서 만날 수 있고 그리고 두 직분 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)는 평행하지 않고 교차할 수 있기 때문에 필요하다. 그러나 유클리드의 이러한 단어는 비공식적이며 선분 \(\rm AB\)의 끝 점에 선분 \(\rm CD\)의 끝 점을 일치시키는 것에 대한 것은 기하학적으로 알아내는데 약간의 노력이 필요하다.