증명

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주어진 삼각형 \(\rm ABC\)의 변 \(\rm BC\)의 끝점 \(\rm B\), \(\rm C\)와 삼각형 내부 점 \(\rm D\)를 그은 두 선분 \(\rm DB\)와 \(\rm DC\)를 그리자.

그러면, 두 변 \(\rm BD\)와 \(\rm DC\)의 길이의 합이 두 변 \(\rm BA\)와 \(\rm AC\)의 길이의 합 보다 작고 각 \(\rm DBC\)의 크기가 각 \(\rm BAC\)의 크기보다 크다는 것을 보이자.

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삼각형 \(\rm ABC\)가 주어졌을 때, 변 \(\rm BC\)의 양 끝점 \(\rm B\), \(\rm C\)삼각형 내부점 \(\rm D\)를 연결한 두 선분 \(\rm DB\), \(\rm DC\)를 그리.

그러면 선분 \(\rm BD\)의 연장선을 그어 변 \(\rm AC\)와 만나는 점을 점 \(\rm E\)라 하고, 선분 \(\rm DE\)를 그리. [I권 공리2]

삼각형 \(\rm ABC\)에서 \(\overline{\rm AB}+\overline{\rm AE} > \overline{\rm BE}\)이다. [I권 명제20]

위의 식의 양변에 \(\rm EC\)를 더하면 \(\overline{\rm AB}+\overline{\rm AE}+\overline{\rm EC} > \overline{\rm BE}+\overline{\rm EC}\)이다. [I권 상식2]

\(\overline{\rm AB}+\overline{\rm AE}+\overline{\rm EC}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm AC}\)이므로 \(\overline{\rm AB}+\overline{\rm AC} > \overline{\rm BE}+\overline{\rm EC}\)이다. \(\cdots\)①

또, 삼각형 \(\rm CDE\)에서 \(\overline{\rm CE}+\overline{\rm ED}>\overline{\rm CD}\)이다. [I권 명제20]

위의 식의 양변에 \(\overline{\rm BD}\)를 더하면 \(\overline{\rm CE}+\overline{\rm ED}+\overline{\rm BD} > \overline{\rm CD}+\overline{\rm BD}\)이다. [I권 상식2]

또한 \(\overline{\rm CE}+\overline{\rm ED}+\overline{\rm BD}=\overline{\rm BE}+\overline{\rm EC}\)이므로 \(\overline{\rm BE}+\overline{\rm EC}>\overline{\rm CD}+\overline{\rm BD}\)이다. \(\cdots\)②

①, ②에 의해 \(\overline{\rm BD}+\overline{\rm DC}< \overline{\rm BA}+\overline{\rm AC}\)이다.

또한 삼각형 \(\rm ABE\)의 외각 \(\rm BEC\)와 내각 \(\rm BAC\)는 \(\angle\rm BEC > \angle\rm BAC\)이다. [I권 명제 16]

삼각형 \(\rm CDE\)의 외각 \(\rm BDC\)와 내각 \(\rm CED\)는 \(\angle\rm BDC > \angle\rm CED\)이다. [I권 명제 16]

그러므로 \(\angle\rm BAC < \angle\rm BEC = \angle\rm CED < \angle\rm BDC\)이므로 \(\angle\rm BDC > \angle\rm BAC\)이다.

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그러므로 주어진 삼각형의 한 변의 양 끝점에서 삼각형 내부의 한 점에 만나도록 두 선분을 그리면, 이 두 선분의 길이의 합은 삼각형의 나머지 두 변의 길이의 합보다 짧고, 두 선분에 의해 만들어진 각은 삼각형 두 변이 이루는 각보다 크다.

Q.E.D.